Помогите с доказательством утверждения из Функ. Анализа

[mehmatstudent]

Доброго времени суток. На семинаре по функану дали задание на дом:
Пусть Х - замкнутое подпространство в Y, а Z - конечномерное подпространство в Y. Доказать, что X + Z - замкнуто.
У меня есть две идеи решения, но не одну из них не могу довести до конца.
1) Так как не сказано над каким полем Z, то можно предположить, что оно над R. Тогда оно изоморфно $R^n$, а $R^n$ - замкнуто. Но значит ли это, что Z тоже будет замкнутым?
2) Пусть $X_n$,$Z_n$ - последовательности и $X_n + Z_n$ сходятся к некоторому вектору u из Y.
Тогда вектор u выглядит так $(x_1, x_2,..x_i+z_1,...,x_(_i_+_n_) + z_n, x_i_+_n_+_1,...)$
Этот вектор можно разделить на два: один - предел X_n, а второй $(0,...0,z_1,...,z_n,0...)$
Дальше никаких мыслей нет

[mihaild]

mehmatstudent в сообщении #1566095 писал(а):

Так как не сказано над каким полем Z, то можно предположить, что оно над R.

Когда говорят о топологических векторных пространствах (а иначе нельзя говорить о замкнутости), поле всегда либо $\mathbb R$, либо $\mathbb C$, в данном случае какое из них - неважно.

mehmatstudent в сообщении #1566095 писал(а):

Но значит ли это, что Z тоже будет замкнутым?

Замкнутость, вообще говоря, зависит от объемлющего пространства (любое множество замкнуто в себе). Но $\mathbb R^n$ не только замкнуто, но еще и полно, а полнота от объемлющего пространства не зависит. Докажите, что если подпространство векторного пространства полно, то оно замкнуто в исходном пространстве.
И в любом случае, замкнутости $Z$ недостаточно.

mehmatstudent в сообщении #1566095 писал(а):

Тогда вектор u выглядит так $(x_1, x_2,..x_i+z_1,...,x_(_i_+_n_) + z_n, x_i_+_n_+_1,...)$

Как выглядит? Что такое $x_i$?

mehmatstudent в сообщении #1566095 писал(а):

один - предел X_n

Из сходимости $X_n + Z_n$ сходимость $X_n$ не следует.

Попробуйте для начала рассмотреть случай, когда $Z$ одномерно.