Дискретный аналог вейвлета Морле

[B@R5uk]

Вопрос: существует ли дискретный аналог вейвлета Морле? По аналогии с преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

ДПФ шикарно переносит все свойства ПФ на дискретные данные: оно обратимо, амплитуда и фаза легко разделяются (достаточно взять модуль и аргумент от бина). Тем не менее, оно специально заточено для работы с дискретными данными: прямое и обратное преобразования считаются через суммы, количество данных в частотном представлении равно количеству данных во временном.

Можно ли сделать что-то похожее для вейвлета Морле? Как непрерывное вейвлет-преобразование он имеет все желаемые свойства: возможность разделить амплитуду и фазу как в преобразовании Фурье, регулируемую частотно-временную разрешимость (за счёт ширины огибающей или, что тоже самое за счёт числа осцилляций внутри огибающей), не считая всех замечательных свойств самих вейвлетов. Он так же обратим. Однако, это всё завязано на непрерывное интегрирование, а хотелось бы работать с суммами и данными конечного размера.

[ihq.pl]

B@R5uk в сообщении #1558342 писал(а):

существует ли дискретный аналог вейвлета Морле? По аналогии с преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье.

Вы имеете ввиду быстрое ДПФ?

[B@R5uk]

ihq.pl, нет, пока я про быстроту ничего не упоминал. Быстрота счёта — это в общем случае тоже хорошо. Но пока нужен именно функционал: кратномасштабный анализ (естественным образом присущий всем вейвлетам), высокое (и регулируемое) разрешение по частоте (характерное именно для вейвлетов Морле), возможность разделять амплитуду и фазу простым взятием модуля и аргумента (что, опять же, обеспечивается вейвлетами Морле) и, самое, главное, работа с дискретными данными как в сигнальном представлении, так и в частотно-временном. Причём, в последнем допустимо (и отчасти даже желательно) двукратное пересемплирование, до тех пор, пока будет приведена устойчивая процедура обратного преобразования (процедура реконструкции сигнала).

-- 24.06.2022, 21:54 --

Кстати, на счёт быстродействия. Я тут в попытках ответить на свой вопрос (на коллективный разум надейся, а сам не плошай) выгреб из закромов Десять лекций Добеши. Там в параграфе 3.3.5 последним примером приведён интересный вариант вейвлета специальной формы (по форме очень похожий на мексиканскую шляпу, но составленный из полиномов), который может быть вычислен рекуррентно от высокочастотных компонент к низкочастотным. Надо заметить, что в этом параграфе обсуждается дискретное обратимое представление непрерывных данных и в каких случаях оно допустимо. В этом примере вейвлеты позволяют провести интегрирование только для вычисления самых высокочастотных функций, все последующие вейвлет-коэффициенты вычисляются через полученные интегралы или предыдущие коэффициенты через свёртку не более 5 слагаемых. Чрезвычайно быстрая техника, позволяющая делать вейвлет-преобразование в реальном времени. К сожалению, к моему вопросу сей поразительный факт отношения пока не имеет.

[ihq.pl]

B@R5uk в сообщении #1558407 писал(а):

Но пока нужен именно функционал: кратномасштабный анализ

Но для этого нужна вспомогательная ф-я (scaling function), а для вейвлета Морле такой кажись нет.

-- 24.06.2022, 23:08 --

Можно построить каркас из вейвлетов Морле. Про это есть в десяти лекциях Добеши.

[B@R5uk]

ihq.pl в сообщении #1558411 писал(а):

а для вейвлета Морле такой кажись нет.

Ну, я потому и спрашиваю про аналог. Он же ещё и дискретным должен быть.

ihq.pl в сообщении #1558411 писал(а):

Можно построить каркас из вейвлетов Морле. Про это есть в десяти лекциях Добеши.

А где именно (глава/параграф) там это написано, не подскажите?

[ihq.pl]

B@R5uk в сообщении #1558412 писал(а):

А где именно (глава/параграф) там это написано, не подскажите?

А там же, где и про мексиканскую шляпу, в 3.3.5, Modulated Gaussian.

[B@R5uk]

Это, к сожалению, непрерывный в пространстве сигнала вейвлет.

[ihq.pl]

Если бы в наличии была масштабирующая ф-я, то дискретные значения сигнала можно было бы принять за коэффициенты разложения сигнала в базисе её сдвигов, и, отталкиваясь от этого, считать вейвлет-коэффициенты рекурсивно. Но масштабирующей ф-ии нет. А так то все вейвлеты непрерывные. Ну или имеют разрывы первого рода. Поэтому интегралы считаются в квадратурах. Но может это и не страшно. Ведь по сути считается свертка сигнала с вейвлетом.

[Евгений Машеров]

Морлеты определены на бесконечном отрезке. Чем-то надо жертвовать.

[B@R5uk]

Вопрос в этом: какие есть варианты? Пока всё, что я находил, либо не дискретно, либо не обратимо, либо не имеет должного частотного разрешения, либо вейвлет не имеет врождённого понятия фазы. Да, у оконного БПФ тоже есть проблемы с частотно-временным разрешением, но это хотя бы технические проблемы, а не концептуальные.

-- 30.09.2022, 16:38 --

Большинство вейвлетов делит частотную область сигналов на октавы. Разница лишь в степени перекрытия частотных полос и форме отклика на дельта-функцию. Для анализа, обработки и сжатия изображений этого, может быть, достаточно. А для анализа звука октавы — это очень грубо.

[Евгений Машеров]

А не является ли пакет требований противоречивым? По крайней мере, грубость разбиения по частоте может быть необходима для быстрого преобразования (может, и для обратимости).

[B@R5uk]

Ну, если оконное БПФ можно удовлетворить всем этим требованиям, то почему бы вейвлеты не сделать похожим образом? И потом, вейвлеты же — это просто цифровые фильтры с вполне конкретными свойствами, не смотря на всё их разнообразие. Вполне можно предложить набор цифровых фильтров (которые не будут являться вейвлетами), которые быстро считаются и имеют отличное частотное разрешение. Казалось бы, сделать ещё один шаг, и получится то, что нужно, не?