Признак уникальности полупрямого произведения групп

[B@R5uk]

mihaild, спасибо!

mihaild в сообщении #1561232 писал(а):

Потому что любой гомоморфизм - это композиция гомоморфизма в факторгруппу

О! То есть, этот гомоморфизм как раз однозначно задан?! Если да, то это жутко облегчит программирование, потому что задача (указать образ всех элементов группы) должна будет решаться двумя-тремя вложенными циклами максимум. Останется только научиться строить произвольный изоморфизм двух изоморфных групп (тоже указание образа всех элементов группы).

mihaild в сообщении #1561232 писал(а):

Важно, что это именно автоморфизм образа

Ну, это как раз понятно.

mihaild в сообщении #1561232 писал(а):

он не обязан продолжаться до автоморфизма всей группы

Я даже навскидку хороший пример знаю:

$$\mathrm{A}_4\times\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_2^3\rtimes\mathbb{Z}_3$$

$$\mathbb{Z}_2^3\subset\mathrm{A}_4\times\mathbb{Z}_2$$

$$\operatorname{Aut}\left(\mathrm{A}_4\times\mathbb{Z}_2\right)=\mathrm{S}_4,\quad\left|\mathrm{S}_4\right|=24$$

$$\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_2^3\right)=\mathrm{PSL}\left(2,\;7\right),\quad\left|\mathrm{PSL}\left(2,\;7\right)\right|=168$$

-- 27.07.2022, 15:37 --

B@R5uk в сообщении #1561234 писал(а):

То есть, этот гомоморфизм как раз однозначно задан?

Что-то я жутко туплю. Посмотрел код, которым у меня фактор-группы считаются:

Используется синтаксис Java

    public class Subgroup implements Comparable <Subgroup> {
        
        private Boolean isAbelian, isNormal, isCentral, isCharacteristic;
        private int subOrder, rank, autoClass;
        private int [] elements, generatingSet;
        private String name;
        
        //      ...
        
        public Group getFactorGroup () {
            int k, l, m, newOrder;
            int [] forwardElements, reverseElements;
            int [] [] newTable;
            
            if (!isNormal) {
                throw new IllegalArgumentException ("\n\nFactor group must be calculated for normal subgroup.\n\n");
            }
            newOrder        = order / subOrder;
            newTable        = new int [newOrder] [newOrder];
            forwardElements = new int [newOrder];
            reverseElements = new int [order];
            Arrays .fill (reverseElements, -1);
            m = 0;
            l = 0;
            while (order > m) {
                forwardElements [l] = m;
                for (k = 0; subOrder > k; ++k) {
                    reverseElements [table [m] [elements [k]]] = l;
                }
                ++l;
                while (order > m && -1 != reverseElements [m]) {
                    ++m;
                }
            }
            for (k = 0; newOrder > k; ++k) {
                for (l = 0; newOrder > l; ++l) {
                    newTable [k] [l] = reverseElements [table [forwardElements [k]] [forwardElements [l]]];
                }
            }
            return new Group (newTable);
        }
    }
    //      End of Subgroup class
 

Массив reverseElements как раз в конце работы хранит искомый гомоморфизм. Теперь как бы так придумать расчёт изоморфизма двух групп?

[B@R5uk]

Ковырялся тут с группами 40-го порядка обнаружил забавную вещь. Вот есть группа диэдра 10-го порядка, для неё:

$$\operatorname{Aut}(\mathrm{D}_{10})=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathbb{Z}_4\supset\mathbb{Z}_4$$

при этом групп 40-го порядка вида $\mathrm{D}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_4$, включая прямое произведение, всего две: собственно прямое произведение и полупрямое произведение, образованное полным гомоморфизмом

$$\psi_2:\;\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_4\subset\operatorname{Aut}(\mathrm{D}_{10})$$

Казалось бы, спроектировать $\mathbb{Z}_4$ можно тремя способами: тривиально в нейтральный элемент, целиком в $\mathbb{Z}_4$ и в группу $\mathbb{Z}_2$. С первыми двумя полупрямыми произведениями всё в порядке. Вопрос: куда подевалась группа, образованная гомоморфизмом ниже?

$$\psi_1:\;\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_2\subset\operatorname{Aut}(\mathrm{D}_{10})$$

[vpb]

B@R5uk в сообщении #1565454 писал(а):

всего две

Непонятен источник такого утверждения. Сами же ниже доказываете (и правильно), что их три.

-- 26.09.2022, 19:13 --

B@R5uk в сообщении #1565454 писал(а):

спроектировать

Так не говорят. Проекция --- это другое. Например, отображение группы на ее факторгруппу, или прямого произведения на один из сомножителей. Тут просто "отобразить".

-- 26.09.2022, 19:17 --

Кстати еще замечу, что вычислительная теория групп --- хорошо продвинутая область. Как по части алгоритмов, так и в отношении готовых пакетов.

[B@R5uk]

vpb в сообщении #1565471 писал(а):

Непонятен источник такого утверждения.

Ну, я взял программу GAP в качестве "словаря групп", подсмотрел в ней все 14 вариантов групп 40-го порядка и поизучал их в самописной программке. У меня получились вот такие всевозможные разложения:

$G_{40}^1=\mathbb{Z}_5\rtimes^4\mathbb{Z}_8$

$G_{40}^2=\mathbb{Z}_{40}=\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_8$

$G_{40}^3=\mathbb{Z}_5\rtimes^2\mathbb{Z}_8$

$G_{40}^4=\mathrm{Q}_{40}=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathrm{Q}_8$

$G_{40}^5={\color{purple}\mathrm{D}_{10}\times\mathbb{Z}_4}=\mathrm{Q}_{20}\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_{20}\rtimes^9\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_5\rtimes(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2)$

$G_{40}^6=\mathrm{D}_{40}=\mathrm{D}_{20}\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_{20}\rtimes^{19}\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_4\rtimes\mathrm{D}_{10}=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathrm{D}_8$

$G_{40}^7=\mathrm{Q}_{20}\times\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_{10}\rtimes^9\mathbb{Z}_4=\mathbb{Z}_5\rtimes(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2)$

$G_{40}^8=\mathrm{K}_4\rtimes\mathrm{D}_{10}=\mathrm{Q}_{20}\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathrm{D}_{20}\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathrm{D}_8=(\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_2)\rtimes\mathbb{Z}_2$

$G_{40}^9=\mathbb{Z}_{20}\times\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_4=\mathbb{Z}_5\times(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2)$

$G_{40}^{10}=\mathrm{D}_8\times\mathbb{Z}_5=\mathbb{Z}_4\rtimes^3\mathbb{Z}_{10}=\mathrm{K}_4\rtimes\mathbb{Z}_{10}=\mathbb{Z}_{20}\rtimes^{11}\mathbb{Z}_2=(\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_2)\rtimes\mathbb{Z}_2$

$G_{40}^{11}=\mathrm{Q}_8\times\mathbb{Z}_5$

$G_{40}^{12}=G_{20}^3\times\mathbb{Z}_2=(\mathbb{Z}_5\rtimes^2\mathbb{Z}_4)\times\mathbb{Z}_2={\color{purple}\mathrm{D}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_4}=\mathbb{Z}_{10}\rtimes^3\mathbb{Z}_4=\mathbb{Z}_5\rtimes(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2)$

$G_{40}^{13}=\mathrm{D}_{20}\times\mathbb{Z}_2=\mathrm{D}_{10}\times\mathrm{K}_4=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathbb{Z}_2^3=\mathbb{Z}_{10}\rtimes\mathrm{K}_4=(\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_2)\rtimes\mathbb{Z}_2$

$G_{40}^{14}=\mathbb{Z}_{10}\times\mathrm{K}_4=\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_2^3$

Забрутфорсил, другими словами. В этих соотношениях значок полупрямого произведения за собой скрывает очень много информации (целый гомоморфизм). В случаях перемножения двух циклических групп, я верхним индексом обозначил "обменную степень" k образующих в соотношениях (она, правда, не всегда единственна для одной и той же группы, но за то хоть какая-то определённость):

$$\langle\;a,\;b\;|\;a^m=b^n=e,\;ab=ba^k\;\rangle$$

[vpb]

vpb в сообщении #1565471 писал(а):

Сами же ниже доказываете (и правильно), что их три.

Тут я, кажись, облажался. А может и нет.

B@R5uk в сообщении #1565477 писал(а):

у, я взял программу GAP в качестве "словаря групп", подсмотрел в ней все 14 вариантов групп 40-го порядка и поизучал их в самописной программке. У меня получились вот такие всевозможные разложения:

Да, теперь примерно понятно.

В общем, надо будет посмотреть на свежую голову, завтра.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1565454 писал(а):

Вопрос: куда подевалась группа, образованная гомоморфизмом ниже?

Пусть $D_{10} = \langle r, s | r^n = s^2 = (rs)^2 = 1\rangle$. Рассмотрим $D_{10} \rtimes \mathbb Z_4$, где $\psi_1 \in \mathbb Z_4$ как у вас. Посмотрите внимательно на элемент $\psi_1 s$.

[B@R5uk]

ОКей, вот у нас есть группа

$$\mathrm{D}_{10}=\langle\;a,\;b\;|\;a^5=b^2=(ab)^2=e\;\rangle$$

с таблицей умножения и своими автоморфизмами:

Names of elements / Multiplication Table:
    e       0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
    a       1   2   3   4   0   6   7   8   9   5
   aa       2   3   4   0   1   7   8   9   5   6
  aaa       3   4   0   1   2   8   9   5   6   7
  bab       4   0   1   2   3   9   5   6   7   8
    b       5   9   8   7   6   0   4   3   2   1
   ab       6   5   9   8   7   1   0   4   3   2
  aab       7   6   5   9   8   2   1   0   4   3
  baa       8   7   6   5   9   3   2   1   0   4
   ba       9   8   7   6   5   4   3   2   1   0

Automorphisms (20):
      0:    0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
      1:    0   1   2   3   4   6   7   8   9   5
      2:    0   1   2   3   4   7   8   9   5   6
      3:    0   1   2   3   4   8   9   5   6   7
      4:    0   1   2   3   4   9   5   6   7   8
      5:    0   2   4   1   3   5   7   9   6   8
      6:    0   2   4   1   3   6   8   5   7   9
      7:    0   2   4   1   3   7   9   6   8   5
      8:    0   2   4   1   3   8   5   7   9   6
      9:    0   2   4   1   3   9   6   8   5   7
     10:    0   3   1   4   2   5   8   6   9   7
     11:    0   3   1   4   2   6   9   7   5   8
     12:    0   3   1   4   2   7   5   8   6   9
     13:    0   3   1   4   2   8   6   9   7   5
     14:    0   3   1   4   2   9   7   5   8   6
     15:    0   4   3   2   1   5   9   8   7   6
     16:    0   4   3   2   1   6   5   9   8   7
     17:    0   4   3   2   1   7   6   5   9   8
     18:    0   4   3   2   1   8   7   6   5   9
     19:    0   4   3   2   1   9   8   7   6   5

Автоморфизмы с индексами 15—19 имеют порядок 2. При этом автоморфизм с индексом 15 самый простой: он образующую b оставляет неизменной (новая образующая коммутирует). Обозначим её s и получим:

$$s^2=e,\;s^{-1}as=a^{-1},\;s^{-1}bs=b$$

Получается группа 20-го порядка

$$\langle\;a,\;b,\;s\;|\;a^5=b^2=(ab)^2=s^2=(as)^2=[b,\;s]=e\;\rangle$$

Которая по идее должна быть группой $\mathrm{D}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_2$. Я до сих пор же нигде не ошибся?

Тут начинается интересное. В моей табличке групп 20-го порядка нету группы $\mathrm{D}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_2$. Среди 5-и групп две абелевы ( $\mathbb{Z}_{20}$ и $\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_2$ ) и три не абелевы:
1) дициклическая

$$\mathrm{Q}_{20}=\mathbb{Z}_5\rtimes^4\mathbb{Z}_4$$

2) диэдральная

$$\mathrm{D}_{20}=\mathrm{D}_{20}\times\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_{10}\rtimes^9\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_5\rtimes\mathrm{K}_4$$

3) группа, являющая группой автоморфизмов группы $\mathrm{D}_{10}$

$$\mathbb{Z}_5\rtimes^2\mathbb{Z}_4$$

Ситуация очень похожа на предыдущую, только группа меньше.

Чтобы разобраться, что с этой группой $\mathrm{D}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_2$ не так, можно сделать замену:

$$abs=x$$

Тогда:

$$x^2=a(bs)abs=a(sb)abs=as(bab)s=as(sas)s=a(ss)a(ss)=a^2$$

$$x^{10}=a^{10}=e$$

$$xb=ab(sb)=ab(bs)=as$$

$$(xb)^2=(as)^2=e$$

Получается:

$$\langle\;x,\;b\;|\;x^{10}=b^2=(xb)^2=e\;\rangle$$

то есть группа $\mathrm{D}_{20}$. Или можно сделать такую замену:

$$bs=z$$

Тогда:

$$z^2=bsbs=b^{-1}s^{-1}bs=e$$

$$az=(ab)s=(ba^{-1})s=b(a^{-1}s)=bsa=za$$

$$bz=b(bs)=b(sb)=zb$$

Получается:

$$\langle\;a,\;b,\;z\;|\;a^5=b^2=(ab)^2=z^2=[a,\;z]=[b,\;z]=e\;\rangle$$

То есть группа $\mathrm{D}_{10}\times\mathbb{Z}_2$. Это всё одна и та же группа, хотя порождающие гомоморфизмы разные (в одном случае тривиальный, в другом — нет).

Мораль: качественно разные гомоморфизмы иногда порождают одинаковые полупрямые произведения. Кстати, я тут заметил, что

$$\mathrm{D}_6\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathrm{D}_6\times\mathbb{Z}_2=\mathrm{D}_{12}$$

из этой же серии. Судя по всему, это минимальный пример такой ситуации.

[mihaild]

А у вас $D_{10}$ это что ли группа Диэдра из $10$ элементов, а не группа симметрий многоугольника десятиугольника?

Я не очень понял, какую задачу вы решаете. Вроде бы не сравнение $\mathbb D_{10} \rtimes \mathbb Z_4$ для двух разных гомоморфизмов.

B@R5uk в сообщении #1565485 писал(а):

Обозначим её s и получим:

$$s^2=e,\;s^{-1}as=a^{-1},\;s^{-1}bs=b$$

Вот тут требование $s^2 = e$ дополнительное, зависящее от правого полупрямого сомножителя, а не только от автоморфизма (порядок сомножителя в подгруппе должен делиться на порядок автоморфизма, но может быть больше его).

-- 27.09.2022, 10:54 --

Вообще я сообразил, что можно ситуацию выше понять еще проще.
$D_{10} = \mathbb Z_{10} \rtimes \mathbb Z_2$, $D_{10} \rtimes \mathbb Z_4 = D_5 \rtimes (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4)$. И два гомоморфизма выше отличаются просто автоморфизмом $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4$.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1565496 писал(а):

А у вас $D_{10}$ это что ли группа Диэдра из $10$ элементов, а не группа симметрий многоугольника?

Группа Диэдра порядка 10 — это группа симметрий пятиугольника:

B@R5uk в сообщении #1565485 писал(а):

$$\mathrm{D}_{10}=\langle\;a,\;b\;|\;a^5=b^2=(ab)^2=e\;\rangle$$

Очень удобно, когда все индексы (чтобы не ломать голову каждый раз) обозначают одно и то же: порядок группы. Плюс однообразие с профессиональными программами:

gap> StructureDescription (SmallGroup (10, 1));
"D10"
gap> StructureDescription (SmallGroup (20, 4));
"D20"
gap> StructureDescription (SmallGroup (24, 6));
"D24"
gap> StructureDescription (SmallGroup (24, 10));
"C3 x D8"

mihaild в сообщении #1565496 писал(а):

Я не очень понял, какую задачу вы решаете.

Извиняюсь, что не написал это явно, но я нашёл более простую задачу (количество элементов в группе в 2 раза меньше) с той же проблемой, поэтому её и решил.