Вывод формулы для возведения в рациональную степень.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565338 писал(а):

Это доказательство тривиально, потому что вы с самого начала потребовали непрерывности.

Ну тут опять реверсивная психология)) Мы потому и требовали непрерывности, потому что знали, что процедура продолжения функции до непрерывной на всем $\mathbb R$ однозначна и всегда возможна.

mihaild в сообщении #1565338 писал(а):

Точно не получим, потому что про значения в иррациональных точках ничего не сказали.

Да вроде бы все ведь нормально? Мы берем произвольное число $a > 0$ и строим функцию $f_a$ по принципу: $f(1) = a$, $f(2) = a^2$, $f(3) = a^3$, ... ; $f(0) = 1$, $f(-1) = a^{-1}$, $f(-2) = a^{-2}$, ... ;$f(\frac{m}{n}) = \sqrt[\mathsf n]{a^{m}}$. И продолжаем на все $\mathbb R$.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1565339 писал(а):

Ну тут опять реверсивная психология

Строить объект, уже зная, что мы хотим построить - нормальная практика. Но строить его всё равно надо строго.

EminentVictorians в сообщении #1565339 писал(а):

И продолжаем на все $\mathbb R$

Вот возможность такого продолжения надо доказывать. И что это продолжение сохраняет уравнение Коши - тоже. Пока что не видно способа избежать работы руками.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565343 писал(а):

Вот возможность такого продолжения надо доказывать.

Так я уже писал, что есть теорема, что если у функции, определенной на всюду плотном в $\mathbb R$ множестве во всех (вещественных) точках совпадают односторонние пределы, то она однозначным образом достраивается до непрерывной на $\mathbb R$. О свойствах из уравнения Коши тут пока ничего нету.

mihaild в сообщении #1565343 писал(а):

И что это продолжение сохраняет уравнение Коши - тоже.

Да, я с этим согласен. Я пока не придумал, как совсем избежать работу руками. Но из всех вариантов - этот хотя бы объясняет, почему у показательной функции именно такое определение.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1565345 писал(а):

если у функции, определенной на всюду плотном в $\mathbb R$ множестве во всех (вещественных) точках совпадают односторонние пределы, то она однозначным образом достраивается до непрерывной на $\mathbb R$

К какой функции вы предлагаете применять эту теорему - к гипотетической непрерывной, удовлетворяющей уравнению Коши, или к определенной в рациональных точках по правилу выше?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565346 писал(а):

К какой функции вы предлагаете применять эту теорему - к гипотетической непрерывной, удовлетворяющей уравнению Коши, или к определенной в рациональных точках по правилу выше?

Сначала к гипотетической, удовлетворяющей уравнению Коши (чтобы потом сказать, что наше требование непрерывности взято не с потолка). А потом к определенной в рациональных точках. И потом, для вот этой реальной (не гипотетической) продолженной функции будем уже доказывать, что она удовлетворяет уравнению Коши.

Я согласен, что это все не супер гладко. Как сделать гладко - пока не знаю.

[EminentVictorians]

Мне это все напоминает сюжет с построением поля $\mathbb R$ вещественных чисел. Когда мы доказываем категоричность системы аксиом, мы должны взять 2 модели, доказать, что между ними найдется изоморфизм, построить этот изоморфизм и все в таком духе. Но всю эту работу руками можно не делать, если вспомнить, что любое архимедово упорядоченное поле вкладывается в $\mathbb R$, а значит $\mathbb R$ является терминальным объектом в категории архимедовых упорядоченных полей. А все терминальные объекты всегда изоморфны.

С этими показательными функциями по ощущениям такая же фигня. Они кажутся какими-то универсальными объектами. А универсальные объекты вроде бы всегда изоморфны. Ну по крайней мере универсальные стрелки точно всегда изоморфны, т.к. они являются начальными объектами в категории запятой.

[mihaild]

С теорией категорий увы не знаком. А в чем принципиальная разница между "архимедовым упорядоченным полем" и "счетным линейным порядком"? Во втором классе есть много объектов, которые вкладываются друг в друга, но не изоморфны.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565350 писал(а):

"счетным линейным порядком"

Счетный линейный порядок - это то же самое, что и счетное линейно упорядоченное множество?

Я бы рассуждал так. Рассмотрим категорию всех счетных линейно упорядоченных множеств с монотонными функциями в качестве стрелок (монотонные - это те, которые сохраняют порядок). Любое счетное упорядоченное множество можно вложить в $\mathbb Q$, т.е. $\mathbb Q$ является терминальным объектом в этой категории. Ну и все $\mathbb Q$ понятно дело изоморфны. Все аналогично, как и с $\mathbb R$. Я же правильно понял, что Вы о категорной интерпретации спрашивали?

-- 24.09.2022, 17:56 --

Кстати интересно, есть ли еще какое-нибудь множество, кроме $\mathbb Q$, в которое можно вложить любое счетное линейно упорядоченное. Оно бы тоже с $\mathbb Q$ было бы изоморфно. Но изоморфизм здесь - в категорном смысле, а не в алгебраическом.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1565352 писал(а):

Кстати интересно, есть ли еще какое-нибудь множество, кроме $\mathbb Q$, в которое можно вложить любое счетное линейно упорядоченное.

Да сколько угодно. $\mathbb Q \cap [0, 1]$ например.

EminentVictorians в сообщении #1565352 писал(а):

Но изоморфизм здесь - в категорном смысле, а не в алгебраическом.

А в чем для народного хозяйства польза от таких высоких материй? Есть хорошая теорема "если $\mathbb R$ вкладывается в какое-то архимедово поле, то вложение - изоморфизм". Но для этого недостаточно просто свойства "любое архимедово поле вкладывается в $\mathbb R$", нужно опять же руками посмотреть чем свойство "архимедово поле" отличается от "счетный линейный порядок".

[EminentVictorians]

Блин, я похоже фигню написал. Пусть есть архимедово поле, которое вкладывается в $\mathbb R$. Никто же не обещал, что вложение будет единственным, верно? Для того, чтобы $\mathbb R$ было терминальным объектом, вложения в него должны быть единственные (для заданного объекта).

-- 24.09.2022, 22:45 --

Хотя если потребовать еще и сохранение линейного порядка... Тогда будет, все нормально.

-- 24.09.2022, 22:47 --

mihaild в сообщении #1565357 писал(а):

Но для этого недостаточно просто свойства "любое архимедово поле вкладывается в $\mathbb R$"

Если добавить словосочетание "линейно упорядоченное", то я думаю достаточно.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1565359 писал(а):

Никто же не обещал, что вложение будет единственным, верно?

Если у нас есть порядок - то будет. Потому что $\mathbb Q$ определяется через арифметические операции, и с помощью порядка позволяет отличить любые два элемента друг от друга из-за архимедовости.

EminentVictorians в сообщении #1565359 писал(а):

Если добавить словосочетание "линейно упорядоченное", то я думаю достаточно.

Вроде архимедовость формулируется только для линейно упорядоченных полей.

У нас есть две структуры: $A$ - линейно упорядоченное поле, для которого выполнена аксиома Архимеда и $B$ - счетное линейно упорядоченное множество.
Есть $\mathbb R$ - любая структура $A$ в него вкладывается (1), и если $\mathbb R$ вкладывается в структуру $A$, то вложение - изоморфизм (2).
Есть $\mathbb Q$ - любая структура $B$ в него вкладывается (1'), но $\mathbb Q$ может неизоморфно вкладываться в структуру $B$ (не-2').
Просто из (1), не вдаваясь в детали внутреннего устройства $A$, вывести (2) нельзя, иначе из (1') можно было бы вывести (2').

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565362 писал(а):

Есть $\mathbb R$ - любая структура $A$ в него вкладывается (1),

и так как вложение единственно, значит $\mathbb R$ - терминальный объект. Все терминальные объекты изоморфны, поэтому если $\mathbb R$ само вкладывается куда-то в $X$, значит $X$ тоже терминальный, значит он изоморфен $\mathbb R$ и значит это вложение - изоморфизм. Это, если я не допустил ошибок, и есть категорное доказательство (2) ( того, что если $\mathbb R$ вкладывается в структуру $A$, то вложение - изоморфизм (2) ).

mihaild в сообщении #1565362 писал(а):

Есть $\mathbb Q$ - любая структура $B$ в него вкладывается (1')

Но не единственным же образом? В этом, как я понимаю, и разница. Было бы единственным - можно было бы повторить все, как выше.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1565371 писал(а):

Но не единственным же образом? В этом, как я понимаю, и разница. Было бы единственным - можно было бы повторить все, как выше.

А тут нужно чтобы любое вложение было единственным, или какое-нибудь?
Если любое, то результат очевиден и без всяких высоких материй: если у нас есть две структуры, в каждую из которых любая вкладывается единственным образом, то они изоморфны (т.к. вложение одной в другую обязательно изоморфизм).
Если какое-нибудь, то вроде бы это неправда: рассмотрим, например, счетный линейный порядок, содержащий выделенную цепь.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565411 писал(а):

А тут нужно чтобы любое вложение было единственным, или какое-нибудь?

Мы сначала фиксируем категорию, т.е. о каких объектах и морфизмах идет речь. В данном случае (в примере с $\mathbb Q$) речь о счетных линейно упорядоченных множествах (как объектах) и монотонных (т.е. сохраняющих порядок) функциях (как морфизмах). Чтобы объект был терминальным, надо чтобы из любого другого объекта в него был ровно один морфизм. Т.е. единственный среди тех, которые мы "признали" морфизмами. Здесь, в этом примере, единственности я думаю нету.

[mihaild]

Единственности, конечно, нету. Но тогда утверждение "все терминальные объекты изоморфны" очевидно. И теория категорий здесь кажется нужна разве что чтобы его сформулировать и сэкономить 2 строчки на каждую структуру. Доказывать-то единственность морфизма всё равно придется руками.