Предел Вероятности

[PAV]

Интересно было бы узнать, какой "другой" метод решения задачи предполагается в формулировке? Мне ничего в голову не пришло.

[Alexiii]

Я крайне удивился,когда сегодня препод сказал,что не видит трудности в прямом переходе к пределу и последующем вычислении
выражения (римановой суммы) $\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$
Как же так?
Наверное,он это имел в виду под иным способ решения,минуя все квадратики,в которых кстати есть к чему придраться насчет отождествления дискретного случая с непрерывным и тем,что единичный квадрат должен начинаться не с $(0,0)$,а с $(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ (так как мы не берем $0$,а только натуральные числа),что фактически меняет геометрическую картину (тогда дуга окружности будет пересекать квадрат не в вершинах).Да и в пределе все равно не получится непрерывная картина,на основе которой происходит употребление формул геометрической вероятности.
Понятно,что априори ответ в пределе - $\frac{\pi}{4}$,но доказательство содержит опущенные неочевидные преобразования.
Короче говоря,есть много недоказанных переходов.

[Brukvalub]

Alexiii в сообщении #156601 писал(а):

Я крайне удивился,когда сегодня препод сказал,что не видит трудности в прямом переходе к пределу и последующем вычислении
выражения (римановой суммы) $\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$

Выходит, что преподаватель все равно предложил геометрический подход к решению.

[Henrylee]

Alexiii писал(а):

..минуя все квадратики,в которых кстати есть к чему придраться насчет отождествления дискретного случая с непрерывным ... Да и в пределе все равно не получится непрерывная картина,на основе которой происходит употребление формул геометрической вероятности.

Не к чему в этом методе придираться. Вы мой предыдущий пост читали? Не читали.

[Alexiii]

Да,право,не читал,но вопрос про непосредственный переход к пределу из выражения для фиксированных $n$ и вывода оттуда ответа для предела представляется мне очень сложным,наперекор моему преподу,который не видит в этом трудности.
Так я искренне интересуюсь,каким это способом?
Тут Ваш метод совершенно не втянут ,он действительно непридираем!

[Brukvalub]

Alexiii в сообщении #156759 писал(а):

непосредственный переход к пределу из выражения для фиксированных $n$ и вывода оттуда ответа для предела представляется мне очень сложным,наперекор моему преподу,который не видит в этом трудности.

Так давайте и попросим Вашего преподавателя показать, как он умеет аналитически найти предел того аналитического выражения, которое он Вам выписал.

[Alexiii]

Brukvalub,
я боюсь у него спрашивать,он бойкий!
Но раз такие компетентные люди (без преувеличения,с полной серьезностью),как Вы,развеяли мои сомнения,то я ,пожалуй, рискну ,но за последствия не отвечаю
Наверное,он имел в виду,что предел даст ему интеграл от такой функции,которая при интегрировании даст заветный четвертак ПИ.
Но я не вижу этих переходов

Спасибо Вам за ответ!

[Henrylee]

Alexiii писал(а):

Наверное,он имел в виду,что предел даст ему интеграл от такой функции,которая при интегрировании даст заветный четвертак ПИ.
Но я не вижу этих переходов

Каких таких переходов к интегралу Вы не видите?

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{n^2-k^2}-1}{n^2}\leq \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\left[\sqrt{n^2-k^2}\right]}{n^2}\leq \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{n^2-k^2}}{n^2}\to\int\limits_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx $$

Левая сумма стремится туда же.

[ewert]

Alexiii писал(а):

Я крайне удивился,когда сегодня препод сказал,что не видит трудности в прямом переходе к пределу и последующем вычислении
выражения (римановой суммы) $\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$
Как же так?

Правильно не видит:

$$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{n^2-k^2}}{n^2}=\sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-\left({k\over n}\right)^2}\cdot{1\over n}$$

,

и это сумма -- совершенно откровенно интегральная для $\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$, ну разве что одного слагаемого не хватает (с $k=0$ или с $k=n$), но оно всё равно стремится к нулю.

А почему антье можно гордо проигнорировать? -- а потому, что его учёт даст поправку, оцениваемую как $O(n^{-1})$, т.е. несущественную.

(подход Henrylee тоже хорош, но -- для матэстетов и для менее тривиальных ситуаций)