2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стандартное отклонение косвенного измерения
Сообщение20.09.2022, 12:03 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Для вычисления абсолютной погрешности величины, заданной формулой $y = f(x_1,\ldots, x_n)$,
по результатам прямых измерений $x_i$ используется (см., например, [1] или [2]) формула$$\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^n \left (\frac {\partial f} {\partial x_i} \sigma_{x_i}\right)^2,$$где $\sigma_{x_i}$ — стандартные отклонения значений $x_i$. Часть материала разделов «обработка результатов измерений» начальных практикумов отчасти поддаётся формализации, но вот для указанной формулы обоснования мне не по силам. Нельзя ли привести ссылку на книгу (статью) с выводом/обоснованием этой формулы или как борются с оценкой погрешности косвенных измерений при подготовке публикаций.

Одной из книг с математическими обоснованиями является Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений, 1962. Но в этой книге обсуждаются только погрешности прямых наблюдений и линейной регрессии (линейной модели) (и обсуждения указанной формулы нет).

Ref
1. Заярный, В.П. Лабораторный практикум по общему курсу "Физика" в 3 ч. Ч 1. Механика.
(pdf); Раздел Основные сведения по обработке результатов и оценке погрешностей измерений, подраздел 2 Обработка результатов косвенных измерений.
2. Лабораторный практикум по инженерной геодезии. — М.: "НЕДРА", 1990 (pdf); Часть II Геодезические измерения, Глава 3 Основные сведения по обработке результатов измерений и оценке их точности, § 12 Погрешности функций измерённых величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартное отклонение косвенного измерения
Сообщение20.09.2022, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Это следует из:
1) приближённой формулы $f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) \approx f(x_1, \dots, x_n) + \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i;$
2) предположения о независимости $x_i$ друг от друга и малости их погрешностей;
3) свойства дисперсии (дисперсия — квадрат среднеквадратичного отклонения, которое является математической моделью физической погрешности измерения): дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартное отклонение косвенного измерения
Сообщение20.09.2022, 16:42 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
worm2, спасибо большое. Как-то так я себе недолго думая и представлял. А именно, положим $x_i = a_i + \xi_i$, где $a_i$ — математическое ожидание $x_i$, $\xi_i$ — «центрированная» случайная величина, имеющая туже дисперсию, что и $x_i$, и нулевое математическое ожидание. Далее, как Вы и написали,$$f(x_1,\ldots, x_n) = f(a_1,\ldots, a_n) + \sum\limits_{i=1}^n \frac {\partial f} {\partial x_i} (a_1,\ldots\, a_n) \xi_i +\ldots.$$Дисперсия суммы (в случае независимости $x_i$) будет равна сумме дисперсий, но как соотносится эта сумма дисперсий с дисперсией $f(x_1,\ldots, x_n)$? Там и многоточие, и математическое ожидание $f(x_1, \ldots, x_n)$ не равно $f(a_1, \ldots, a_n)$.
И что такое малость $\Delta x_i$ (в обозначениях этого сообщения $\xi_i$)?

Банальный пример. Пусть у нас $y = x_1/x_2$, $x_1$ и $x_2$ независимые и одинаково (для простоты) нормально распределены с единичным ожиданием и единичной дисперсией. Тогда отношение не имеет математического ожидания. Исходя из этого примера, можно грубо предположить, что случайные величины должны иметь такие носители (области с неравной нолю плотностью), чтобы подлежащая вычислению функция $f$ была определена (в частности, в случае дроби носители должны быть такими, чтобы знаменатель не обращался в ноль, например это может быть равномерно распределенные), либо, по крайней мере, несколько моментов были определены.

В эксперименте, как правило, нам не известны ожидания и дисперсии случайных величин $x_i$, а известны оценки: $\bar X_i$, $S_i^2 = \sqrt {\frac 1 {m(m-1)} \sum_{k=1}^m (X_{ik}- \bar X_i)}$. Формулу же записываем в виде$$ S_y^2 = \sum\limits_{i=1}^n \left( \frac {\partial f} {\partial x_i} (\bar X_1,\ldots\, \bar X_n) \right)^2 S_i^2.$$$S_y^2$ случит оценкой $\sigma_y^2$ (дисперсии $y$).

В простейших случаях для фиксированного $i$ величины $X_{ik}$ одинаково распределены («равноточные измерения») и выполнены условия ЦПТ, поэтому [при стремлении объёмов выборок к бесконечности] $\bar X_{i}$ стремятся по распределению к нормальному. Тут мы возвращаемся к вопросу о малости $\Delta x_i$ (в обозначениях этого сообщения $\xi_i$). В каком смысле они должны быть малыми?

[Понятно, что в реальном эксперименте число опытов не велико. Как правило на хвостах распределения отклонение от нормального заметно. Но как это всё более-менее описывается?]

 Профиль  
                  
 
 Re: Стандартное отклонение косвенного измерения
Сообщение20.09.2022, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Тут я точно не знаю. Но думаю, малость погрешностей — ключевой момент, при невыполнении которого формула из учебника перестаёт работать.
Т.е. носители случайных величин не только не должны выходить за пределы области определения $f$, но и её производные в пределах этих носителей должны меняться незначительно, чтобы линейное приближение работало с допустимой на практике точностью.
Ну и тут, наверное, ещё раз нужно подчеркнуть отличие теории от практики: в теории носители почти всех случайных величин (например, той же нормальной) бесконечны, но на практике можно считать, что они ограничены.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group