Из ПРР(М) для обоснования от Mitikin

[Mitkin]

reterty в сообщении #1564618 писал(а):

В теории анаберрационной отражающей поверхности приходим к следующему ОДУ:

$$F=y(x)+\frac{x(1-y^{\prime 2}(x))}{2y^{\prime}(x)}$$

. Данный диффур является явно нелинейным.... однако, имеет простое решение: $y(x)=x^2/(4F)$ . Вопрос в том как это решение элегантно получить (по-школьному).....

$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}-xy^{\prime 2}$
$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}$
$2Fy=y^2+\frac{1}{2}x^2+c$
решив это уравнение, переходим к уравнению
$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}-xy^{\prime 2}$
с вариацией постоянной:
$-F\frac{c^{\prime}}{\sqrt{F^2-\frac{1}{2}x^2-c}}=(F+\sqrt{F^2-\frac{1}{2}x^2-c})\frac{-c^{\prime}}{\sqrt{F^2-\frac{1}{2}x^2-c}}-x(\frac{-x-c^{\prime}}{2\sqrt{F^2-\frac{1}{2}x^2-c}})^2$

[Someone]

Mitkin в сообщении #1564913 писал(а):

$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}-xy^{\prime 2}$
$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}$

А куда делось $x(y')^2$?

[Mitkin]

Someone в сообщении #1564915 писал(а):

Mitkin в сообщении #1564913 писал(а):

$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}-xy^{\prime 2}$
$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}$

А куда делось $x(y')^2$?

сначала решается часть уравнения. Ответ получается зависящим от какой-то постоянной.
Потом, просто это решение подставляем в полное уравнение, а постоянную считаем функцией.

Самое простое уравнение (дальше делал сдвиги), которое я в итоге получил:
$-x\frac{c_2^{\prime 2}}{c_2}+c_2^{\prime}+x=0$

[Pphantom]

Mitkin, последнее предупреждение за систематическое пренебрежение правилами пунктуации. Если вам и впредь будет лень нажимать на клавишу Shift - будем банить.

[Mitkin]

Mitkin в сообщении #1564924 писал(а):

Самое простое уравнение (дальше делал сдвиги), которое я в итоге получил:
$-x\frac{c_2^{\prime 2}}{c_2}+c_2^{\prime}+x=0$

Если правильно делал, то последнее уравнение имеет частное решение $c_2=\frac{x^2}{2}$
Далее ищем решение в виде:
$c_2^2=\frac{x^2}{2}+c_3$
Получается линейное уравнение

[svv]

(Оффтоп)

А теперь точек нет.
Новый закон сохранения?

[Mitkin]

Someone в сообщении #1564915 писал(а):

Mitkin в сообщении #1564913 писал(а):

$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}-xy^{\prime 2}$
$2(Fy)^{\prime}=(y^2)^{\prime}+(\frac{1}{2}x^2)^{\prime}$

А куда делось $x(y')^2$?

$y$ можно представить как комбинацию двух функций. Одну из них можно задать явно, а вторую искать (подставив комбинацию функций в исходный дифур). Чтобы не брать первую функцию с потолка, я, в данном случае, решаю укороченное уравнение.

-- 19.09.2022, 00:54 --

svv в сообщении #1564951 писал(а):

(Оффтоп)

А теперь точек нет.
Новый закон сохранения?

Вы проверили? Выражение сложное, я не проверял подстановкой.
$y=-F\pm\sqrt{F^2-\frac{1}{2}x^2-c}=\frac{x^2}{4F}$
Откуда получаем выражение для $c$

[svv]

(Оффтоп)

Я о знаках препинания.

[Lia]

Mitkin в сообщении #1564952 писал(а):

Вы проверили? Выражение сложное, я не проверял подстановкой.

Так проверьте, прежде чем давать советы.

Mitkin
Не надо выступать в роли помогающего в ПРР при недостатке квалификации. Это было предупреждение. Оно же просьба.

Тема отделена от «Нелинейный диффур!!!!» и при отсутствии вменяемого обоснования поедет в Пургаторий.

[Mitkin]

Pphantom в сообщении #1564624 писал(а):

Ну так себе элегантно, но...

Если заменить местами функцию и аргумент, т.е. перейти к $x=x(y)$, то уравнение легко приводится к виду $2\,(F-y) = x x'-\frac{1}{x'}$. Справа также напрашивается разность константы и линейной функции, и даже если сразу не сообразить про корень, то можно поискать подходящую степенную функцию и найти показатель степени. После этого останется только коэффициент, а это уже тривиально.

Проверьте решение, у Вас ошибка.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: как обещано.