Нелинейный диффур!!!!

[reterty]

В теории анаберрационной отражающей поверхности приходим к следующему ОДУ:

$$F=y(x)+\frac{x(1-y^{\prime 2}(x))}{2y^{\prime}(x)}$$

. Данный диффур является явно нелинейным.... однако, имеет простое решение: $y(x)=x^2/(4F)$ . Вопрос в том как это решение элегантно получить (по-школьному).....

[Pphantom]

Ну так себе элегантно, но...

Если заменить местами функцию и аргумент, т.е. перейти к $x=x(y)$, то уравнение легко приводится к виду $2\,(F-y) = x x'-\frac{1}{x'}$. Справа также напрашивается разность константы и линейной функции, и даже если сразу не сообразить про корень, то можно поискать подходящую степенную функцию и найти показатель степени. После этого останется только коэффициент, а это уже тривиально.

[svv]

Мой способ использует физические соображения как наводящие, но потом всё будет обосновано.

1 часть (эвристическая). Возьмём три точки:
источник с координатами $(0,L), \; L>0$;
подвижную точку $(x, y(x))$ на отражателе конечных размеров;
фокус с координатами $(0,F)$.
Пусть $L$ настолько велико, что отрезок «источник — точка на отражателе» почти параллелен оси ординат. Тогда его длина равна $L-y(x)$.
Длина отрезка «точка на отражателе — фокус» $r(x)=\sqrt{x^2+(y(x)-F)^2}$.
Исходя из физики, их сумма не меняется при движении точки по отражателю:
$r(x)+L-y(x)=\operatorname{const}$, или
$r(x)-y(x)=\operatorname{const}.$

2 часть. Покажем, что последнее условие приводит к Вашему уравнению. Дифференцируем его по $x$:
$(r-y)'=\dfrac{x+(y-F)y'}{r}-y'=0$
$x+(y-F)y'=ry'$
Возводим в квадрат:
$x^2+2x(y-F)y'+\begin{xy}*{(y-F)^2y'^2};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy}=x^2y'^2+\begin{xy}*{(y-F)^2y'^2};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy}$
$2(y-F)y'=x(y'^2-1)$
и всё.

Вам остаётся все действия 2 части проделать в обратном порядке и получить $r\pm y=\operatorname{const}$.

[mihiv]

Будем искать решение в параметрическом виде. В качестве параметра возьмем $y'(x)=\frac {\dot y}{\dot x}=t\eqno (1)$, (точка означает производную по параметру $t)$.
Продифференцируем исходное уравнение по $t$, с помощью $(1)$ исключим из полученного д.у. $\dot y$ и решая полученное д.у. для $x(t)$ находим: $x(t)=ct$, где $c$-произвольная постоянная. Подставим $t=\frac xc$ в исходное уравнение и определим $c$ с помощью начального условия: $y(0)=0$.

[reterty]

Спасибо всем ответившим!

[gevaraweb]

reterty в сообщении #1564618 писал(а):

Вопрос в том как это решение элегантно получить (по-школьному).....

Дык, будем искать решение в виде параболы $y(x)=Ax^2$ .