Неравносильные преобразования

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите навести порядок и логику. Решаем, например, симметрическое уравнение:$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Желаю вынести $x^2$ за скобку: $x^2(ax^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2})=0$, уравнение равносильно:

$$\begin{bmatrix} x^2=0 \\ ax^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2} =0 \\ \end{bmatrix}$$

Имеется в виду Cистема-Объединение, a не фигурная скобка.
При проверке первое уравнение дает побочный корень $x=0$, второе решаем традиционным способом. Корректны ли такие переходы?

[worm2]

Когда говорят о равносильности, подразумевают, что наборы корней исходного и преобразованного уравнения полностью совпадают.
Так что нет, объединение не будет равносильно ни исходному уравнению, ни уравнению с вынесенной за скобки $x^2$.
Если непременно нужна равносильность, то объединение будет примерно таким:

$$\begin{bmatrix} a=0, \, x(bx^2+cx+b)=0 \\ a \ne 0, \, ax^2+bx+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^2} =0 \end{bmatrix}$$

Поскольку во втором случае $x=0$ точно не является корнем, то на $x^2$ можно спокойно делить.
Первый случай можно дополнительно поделить на $b=0$, $b \ne 0$, а затем ещё из самого первого выделить $c=0$, $c \ne 0$.

Хотя при решении алгебраических уравнений часто сразу в условии обговаривают, что старший член отличен от нуля, и вопрос отпадает.

[Stensen]

Спасибо, осознал

[kotenok gav]

worm2 в сообщении #1564604 писал(а):

Так что нет, объединение не будет равносильно ни исходному уравнению, ни уравнению с вынесенной за скобки $x^2$.

Почему? Оно будет равносильно исходному.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1564656 писал(а):

Оно будет равносильно исходному.

Не будет, если $a \neq 0$.