Задачу про равенства пределов признака Даламбера и Коши

[Maxim19]

Здравствуйте, помогите решить такую задачку: если член последовательности

$$A_n>0$$

при

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{} \frac{A_{n+1}}{A_n} = q$$

то существует так же предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{} {A_n}^{\frac{1}{n}}=q$
Из условия видно, что

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{} A_{n+1}=qA_n$$

Это значит, что

$$A_n = A_1K_1K_2...K_{n-1}$$

где

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{} K_n=q$$

Что делать дальше? Есть у кого нибудь идеи?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите, пожалуйста, формулы так, чтобы это хоть сколько-нибудь соответствовало стандартным правилам записи пределов; заодно можно убрать выключные формулы там, где они явно не требуются.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Возьмите $N$ такое что $|K_n - q| < \varepsilon$ при $n > N$. Посмотрите на $\ln A_n$.

[Maxim19]

Пусть $N$ такое, что $\left\lvert{K_n - q}\right\rvert <e$ для всех $n>N$
$\ln{A_n} + \ln{q} - C(e)\leqslant\ln{A_{n+1}} = \ln{A_nK_n} = \ln{A_n} + \ln{K_n} \leqslant \ln{A_n} + \ln{q} + C(e)$

$$\lim\limits_{e\to{0}}^{} C(e)=0$$

из этого я попытался доказать $\ln{A_n} = n\ln{q}$ но, на сколько я понимаю, это неверный шаг, ведь не всегда из $\lim\limits_{n\to\infty}^{}{A_n}^{\frac{1}{n}} = q$ следует $\lim\limits_{n\to\infty}^{} A_n=q^n$ на что мне ещё следует обратить внимание?

[mihaild]

А что такое $e$, $C(e)$ и зачем они нужны?
Распишите $A_n$ как произведение $A_N$ и что там еще будет.

[Maxim19]

$e$ это просто я иначе изобразил символ похожий на букву з, только смотрящую вправо, не знаю, как его написать. А $C(e)$ это функция от $e$ которая показывает, что те неравенства стремятся друг к другу при стремлении $K_n$ к $q$

-- 02.09.2022, 01:32 --

$A_n=A_NK_NK_{N+1}...K_{n-1}$
$\ln{A_n} = \ln{A_N} + \sum\limits_{I=N}^{n-1}\ln{K_i}$ к сожалению, я не вижу, как это связать с доказательством

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1563960 писал(а):

только смотрящую вправо, не знаю, как его написать

Это \varepsilon. Можно навести курсор на формулу, чтобы посмотреть $\TeX$.

Maxim19 в сообщении #1563960 писал(а):

$\ln{A_n} = \ln{A_N} + \sum\limits_{I=N}^{n-1}\ln{K_i}$

Так а теперь подставьте $K_n = q + (K_n - q)$. Мы же не просто так брали $n > N$.

[Maxim19]

$\ln{A_N}+\sum\limits_{I=N}^{n-1}\ln{q-e}\leqslant$\ln{A_n} \leqslant \ln{A_N} + \sum\limits_{I=N}^{n-1}\ln{q+e}$ вы это имели ввиду в подстановке?

-- 02.09.2022, 01:53 --

$\ln{A_N} +\sum\limits_{i=N}^{n-1}\ln{q\pm{e}} = \ln{A_N} + (n-1-N)\ln{q\pm{e}}$

[mihaild]

Как минимум при подстановке одного равенства в другое не может получиться неравенство:) Кроме того, $\varepsilon$ тоже явно должно быть под знаком суммы.
А когда подставите правильно - перейдите к исходному корню и посмотрите, что будет, если, не трогая $N$, устремить $n$ к бесконечности.

[Maxim19]

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}{A_n}^\frac{1}{n}={(e^{\ln{A_N}}e^{\ln{(q+(K_i-q))}}e^{\ln{(q-(K_{i+1}-q))}}...e^{\ln{(q-(K_{n-1}-q))}})^{\frac{1}{n}}$$

я правильно сделал? Не понимаю, как двигаться дальше

[mihaild]

Ну упростите последнее выражение. Это уже школьного уровня задача.
А еще у вас где-то предел справа потерялся. И вот прямо так предел получить не получится всё равно, но на поведение выражения на бесконечности (в каких пределах оно меняется) посмотреть можно.

[Maxim19]

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}{A_n}^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}^{}{e^{(\ln{A_N}+\ln{(q+(K_i-q))}+...+\ln{(q-(K_{n-1}-q)))\frac{1}{n}}$$

Я до сих пор не знаю, как отсюда выйти на доказательство необходимого предела

[mihaild]

Уберите пределы. Напишите $\ln A_n^{1/n}$. Оцените его.

[novichok2018]

Не помню точно из Фихтенгольца, но кажется там есть, что один из этих признаков строго сильнее другого. То есть из существования одного из двух пределов следует существование другого, а обратное неверно.