Является ли функция бесконечной?

[hanik]

В задаче нужно определить, является ли функция $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{(1 - \sin(x))^2}}$ бесконечно большой при $x \to \pi/2$.

В ответе утверждается, что функция является бесконечно большой, но это не сходится с моим решением:

$\lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{(1 - \sin(x))^2}} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\cos(t + \pi / 2)}{\sqrt[3]{(1 - \sin(t + \pi / 2))^2}} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\sqrt[3]{(1 - \cos(t))^2}} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\sqrt[3]{(\frac{t^2}{2} + o(t^2))^2}} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\sqrt[3]{(1 + \frac{t^2}{2} + o(t^2) - 1})^2} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{1 + \frac{2}{3}(\frac{t^2}{2} + o(t^2) - 1) + o(t^2)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\frac{1}{3} + \frac{t^2}{3} + o(t^2)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-t + o(t)}{\frac{1}{3} + \frac{t^2}{3} + o(t^2)} = \frac{0}{\frac{1}{3}} = 0 $

Подскажите, где я допустил ошибку?

Это задача из сборника задач Кудрявцева, 1 том, гл. 2, пар. 9, задача 45, вариант 3).

[mihaild]

$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\sqrt[3]{(1 + \frac{t^2}{2} + o(t^2) - 1})^2} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{1 + \frac{2}{3}(\frac{t^2}{2} + o(t^2) - 1) + o(t^2)}$$

Вот этот переход неверен. Слева в знаменателе бесконечно малая, справа нет.

[hanik]

Т.е. должно быть так?

$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\sqrt[3]{(1 + \frac{t^2}{2} + o(t^2) - 1})^2} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{1 + \frac{2}{3}(\frac{t^2}{2} + o(t^2) - 1) + o(t^2) + o(1)}$$

[mihaild]

Всё еще слева знаменатель стремится к нулю, справа нет. Вам вообще это прибавление-вычитание единицы не нужно, вынесите внутри скобок в знаменателе $t^2 / 2$ из обоих слагаемых.

[hanik]

Верно ли такое решение?

$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\sqrt[3]{(\frac{t^2}{2} + o(t^2)})^2} = \lim\limits_{t \to 0} \sqrt[3]{4} \frac{-\sin(t)}{t^\frac{4}{3} \sqrt[3]{(1 + o(1)})^2} = \lim\limits_{t \to 0} \sqrt[3]{4} \frac{-\sin(t)}{t^\frac{4}{3} (1 + o(1))} = $$

$$ \lim\limits_{t \to 0} \sqrt[3]{4} \frac{-t + o(t)}{t^\frac{4}{3} (1 + o(1))} = \lim\limits_{t \to 0} \sqrt[3]{4} \frac{-t (1 + o(1))}{t^\frac{4}{3} (1 + o(1))} = \lim\limits_{t \to 0} -\sqrt[3]{\frac{4}{t}} \frac{1 + o(1)}{1 + o(1)} = 1 \lim\limits_{t \to 0} -\sqrt[3]{\frac{4}{t}} = \infty $$

[alcoholist]

достаточно и этого:

$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\left(\frac{t^2}{2} + o(t^2)\right)^{2/3}} = -\sqrt[3]{4}\lim\limits_{t \to 0} \frac{t + o(t)}{t^\frac{4}{3} (1 + o(1))} = -\sqrt[3]{4}\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t^\frac{1}{3} } = \infty $$

[TOTAL]

$$f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{(1 - \sin(x))^2}} =\sqrt[3]{\frac{(\cos(x/2)+\sin(x/2))(1+\sin(x))}{\cos(x/2)-\sin(x/2)}}$$

[hanik]

Всем спасибо за помощь.

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1563973 писал(а):

$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{-\sin(t)}{\left(\frac{t^2}{2} + o(t^2)\right)^{2/3}} = -\sqrt[3]{4}\lim\limits_{t \to 0} \frac{t + o(t)}{t^\frac{4}{3} (1 + o(1))} = -\sqrt[3]{4}\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{t^\frac{1}{3} } = \infty $$

TOTAL в сообщении #1563974 писал(а):

$$f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt[3]{(1 - \sin(x))^2}} =\sqrt[3]{\frac{(\cos(x/2)+\sin(x/2))(1+\sin(x))}{\cos(x/2)-\sin(x/2)}}$$

Кто угадает: какая из этих рекомендаций абсолютно разумна, а какая -- абсолютно нет?..

Тем не менее, вставлю ещё 5 коп. Замену на $t$ можно считать если и не обязательным, то, во всяком случае, универсальным приёмом. Но вот дальше:

$$\frac{\sin t}{\sqrt[3]{(1-\cos t)^2}}=\frac{2\sin\frac{t}2\cos\frac{t}2}{\big(2\sin^2\frac{t}2\big)^{\frac23}}$$

-- и финиш, без каких бы то ни было замечательных пределов, не говоря уж о Тейлорах.