Нахождение напряженности магнитного поля

[Middle]

Здравствуйте, речь идет про следующую задачу:
В сферических координатах компоненты вектора $j$ средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны

$j_{r}=j_{\Theta}=0$

$j_{\Psi}=f(r)\sin^3{\Theta}$

Орбитальный ток создает в пространстве магнитное поле. Найти напряженность $H$ этого магнитного поля в начале координат.

Понятно, что нужно использовать формулу $H=\frac{1}{c}\int \frac{[j(r')\times r]}{r^3} dV$, но мы не можем посчитать векторное произведение в сферических координатах.

Если использовать следующие формулы связи декартовых и сферических координат



То обнаружится, что вектор $j$ лежит в плоскости $XY$ и является нулевым, поскольку ${\Theta}=0$.
Если попробовать решать через векторный потенциал $A$, то там в итоге будут громоздкие и нерешаемые дифференциальные уравнения.
Подскажите, как подступиться к этой задаче

[svv]

Middle в сообщении #1563831 писал(а):

мы не можем посчитать векторное произведение в сферических координатах

Векторное произведение в сферических координатах вычисляется с помощью формул (где $\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi$ — это $\hat{\boldsymbol{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}$):
$\mathbf e_r\times \mathbf e_\theta=\mathbf e_\varphi$
$\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\varphi=\mathbf e_r$
$\mathbf e_\varphi\times \mathbf e_r=\mathbf e_\theta$

Плотность тока и радиус-вектор имеют только компоненты
$\mathbf j=j_\varphi\mathbf e_\varphi,\qquad\mathbf r=r\mathbf e_r,$
поэтому их векторное произведение только компоненту $...\mathbf e_\theta$. Нюанс в том, что в каждой точке пространства свой локальный базис $(\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi)$. Поэтому вектор $\mathbf e_\theta$ в подинтегральной функции не является константой, и его нельзя вынести за знак интеграла. Однако ясно, что в силу осевой симметрии векторный результат интегрирования будет направлен по оси $Oz$. Поэтому можно интегрировать не векторную функцию с зависящим от точки $\mathbf e_\theta$, а её проекцию на ось $Oz$, воспользовавшись формулой
$(\mathbf e_\theta)_z=\mathbf e_\theta\cdot\mathbf e_z=-\sin\theta$

Альтернативный способ — выразить $\mathbf e_r$ и $\mathbf e_\varphi$ через декартовы орты с помощью формул перехода, потом взять векторное произведение в декартовых координатах и опять оставить только компоненту $z$. По-моему, так чуть сложнее.

Кстати, обратите внимание, что в формуле Био-Савара-Лапласа вектор, обозначенный у Вас $r$, направлен из точки, где течёт ток, в точку, где вычисляется поле. А радиус-вектор $\mathbf r$, наоборот, направлен из начала координат (где надо найти поле) в точку, где ток. Если это учесть, «минуса» в ответе не будет.

Middle в сообщении #1563831 писал(а):

${\Theta}=0$

Откуда Вы это взяли?

[Middle]

svv в сообщении #1563833 писал(а):

Middle в сообщении #1563831 писал(а):

мы не можем посчитать векторное произведение в сферических координатах

Векторное произведение в сферических координатах вычисляется с помощью формул (где $\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi$ — это $\hat{\boldsymbol{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}$):
$\mathbf e_r\times \mathbf e_\theta=\mathbf e_\varphi$
$\mathbf e_\theta\times \mathbf e_\varphi=\mathbf e_r$
$\mathbf e_\varphi\times \mathbf e_r=\mathbf e_\theta$

Плотность тока и радиус-вектор имеют только компоненты
$\mathbf j=j_\varphi\mathbf e_\varphi,\qquad\mathbf r=r\mathbf e_r,$
поэтому их векторное произведение только компоненту $...\mathbf e_\theta$. Нюанс в том, что в каждой точке пространства свой локальный базис $(\mathbf e_r,\mathbf e_\theta,\mathbf e_\varphi)$. Поэтому вектор $\mathbf e_\theta$ в подинтегральной функции не является константой, и его нельзя вынести за знак интеграла. Однако ясно, что в силу осевой симметрии векторный результат интегрирования будет направлен по оси $Oz$. Поэтому можно интегрировать не векторную функцию с зависящим от точки $\mathbf e_\theta$, а её проекцию на ось $Oz$, воспользовавшись формулой
$(\mathbf e_\theta)_z=\mathbf e_\theta\cdot\mathbf e_z=-\sin\theta$

Альтернативный способ — выразить $\mathbf e_r$ и $\mathbf e_\varphi$ через декартовы орты с помощью формул перехода, потом взять векторное произведение в декартовых координатах и опять оставить только компоненту $z$. По-моему, так чуть сложнее.

Кстати, обратите внимание, что в формуле Био-Савара-Лапласа вектор, обозначенный у Вас $r$, направлен из точки, где течёт ток, в точку, где вычисляется поле. А радиус-вектор $\mathbf r$, наоборот, направлен из начала координат (где надо найти поле) в точку, где ток. Если это учесть, «минуса» в ответе не будет.

Благодарю, лично я выразил $e_\Theta$ через формулы перехода уже в интеграле, подставив формулы для $j$ и $r$

[Pphantom]

Middle, на будущее: не надо вставлять формулы в виде скришотов и не надо цитировать то, что не нужно для понимания ответа.