Многоугольник и точка внутри

[THC]

Задан выпуклый многоугольник и точка М внутри него. Доказать, что всегда существует проходящая через M прямая, которая пересекает периметр многоугольника в двух точках A и B так, чтобы AM = MB

Решите эту задачу двумя способами:
1) С использованием свойства непрерывных функций
2) Без использования непрерывной функции и не выходить за рамки школьной программы по математике.

[Nilenbert]

Ну так сделать центральную симметрию относительно M и посмотреть где пересекаются многоугольник и его образ. Через точку пересечения и M провести прямую. Откуда мы можем знать что точка пересечения существует? Если бы её не было, то значит либо образ многоугольника расположен полностью внутри исходного либо наоборот. Но это невозможно, так как это значило бы что внутри многоугольника расположен другой, с равной площадью.

[THC]

Всё правильно, Nilenbert. Это самый короткий способ!
Попробуйте теперь ещё решить с помощью непрерывной функции.

[VAL]

THC писал(а):

Всё правильно, Nilenbert. Это самый короткий способ!
Попробуйте теперь ещё решить с помощью непрерывной функции.

А здесь и решать не надо! Ответ - очевидно!
Для пущей очевидности можно повращать прямую вокруг M.

[THC]

Всё же хотел бы спросить Nilenbert и VAL: В каждом вашем методе почему многоугольник должен быть выпуклым?

[VAL]

THC писал(а):

Всё же хотел бы спросить Nilenbert и VAL: В каждом вашем методе почему многоугольник должен быть выпуклым?

Во-первых, в условии был задан выпуклый.
А во-вторых, утверждение может оказаться верным и для невыпуклого многоугольника. Но уже не обязяно быть верным.
Пусть, например, $M(3; 6)$, а вершигы многоугольника в порядке обхода:$A(0; 0), B(8; 0), C(8; 6), D(4; 6), E(2; 8), F(0; 6)$. Тогда требуемой прямой не существует.

[TOTAL]

THC писал(а):

Всё правильно, Nilenbert. Это самый короткий способ!
Попробуйте теперь ещё решить с помощью непрерывной функции.

А это и есть решение с помощью непрерывной функции, т.к. существование точки пересечения многоугольника с его образом выводится из того, что граница многоугольника - это непрерывная линия.

Добавлено спустя 22 минуты 52 секунды:

VAL писал(а):

Пусть, например, $M(3; 6)$, а вершигы многоугольника в порядке обхода:$A(0; 0), B(8; 0), C(8; 6), D(4; 6), E(2; 8), F(0; 6)$. Тогда требуемой прямой не существует.

Существует. Горизонтальная прямая.

[sergey1]

Вряд ли про эту прямую можно сказать, что она пересекает периметр в двух точках.

[TOTAL]

sergey1 писал(а):

Вряд ли про эту прямую можно сказать, что она пересекает периметр в двух точках.

С такой логикой возьмите квадрат, точку в его центре и утверждайте,
что вряд ли можно сказать, что существует прямя с указанным свойством.

[sergey1]

говоря

Цитата:

Вряд ли про эту прямую можно сказать, что она пересекает периметр в двух точках.

я имел в виду, что "по духу" задачи Вы правы, но формально нет.

[THC]

sergey1 писал(а):

Вряд ли про эту прямую можно сказать, что она пересекает периметр в двух точках.

Для выпуклого многоугольника существуют не больше 2 точек пересечения:
Допустим A, B, C - это 3 последовательные точки пересечения прямой с периметром многоугольника. Расматриваем сторону многоугольника, на которой находится B. Очевидно, A и C лежат строго в разных полуплоскостях, разделённых этой же стороной. Но это противоречит определению выпуклого многоугольника, что все его точки должны лежат только в одной полуплоскости относительно любой его стороны.
Можно также доказать, что количество точек пересечения не м.б. равным 0 или 1

[VAL]

TOTAL писал(а):

sergey1 писал(а):

Вряд ли про эту прямую можно сказать, что она пересекает периметр в двух точках.

С такой логикой возьмите квадрат, точку в его центре и утверждайте,
что вряд ли можно сказать, что существует прямя с указанным свойством.

Это совсем другая (иезуитская) логика!

[THC]

TOTAL писал(а):

THC писал(а):

Всё правильно, Nilenbert. Это самый короткий способ!
Попробуйте теперь ещё решить с помощью непрерывной функции.

А это и есть решение с помощью непрерывной функции, т.к. существование точки пересечения многоугольника с его образом выводится из того, что граница многоугольника - это непрерывная линия.

Ув. TOTAL, в своём решении Nielbert вообще ничего не говорил о выпуклости многоугольника. Создавалось впечатление, что его решение верно и для невыпуклого многоугольника (точнее, найдутся 2 точки A, B среди точек пересечений, что AM=MB).
Но на самом деле не так.
Каково ваше мнение на этот счёт?

[TOTAL]

THC писал(а):

в своём решении Nielbert вообще ничего не говорил о выпуклости многоугольника. Создавалось впечатление, что его решение верно и для невыпуклого многоугольника (точнее, найдутся 2 точки A, B среди точек пересечений, что AM=MB).
Но на самом деле не так.
Каково ваше мнение на этот счёт?

Я считаю, что для невыпуклого многоугольника всегда найдутся 2 точки A, B среди точек пересечений, что AM=MB.
Если Вы считаете, что на самом деле это не так, то приведите пример. (На каком основании "не так"?)

[THC]

TOTAL писал(а):

Я считаю, что для невыпуклого многоугольника всегда найдутся 2 точки A, B среди точек пересечений, что AM=MB.
Если Вы считаете, что на самом деле это не так, то приведите пример. (На каком основании "не так"?)

"Основание" у меня есть, хотя оно не математическое
Дело в том, что эта задача была предложена на конкурсе для студентов Ленинградского института, где я учился. Это было очень давно .
Тогда, после истечения срока в 2 недели, каждый участник с своими решениями задач подходил к профессору математики "разбираться". А мне профессор лишь сказал лаконично: "У вас хорошая работа, всё правильно". Тогда я его спросил про эту задачу, что условие выпуклости многоугольника м.б. не нужно? Он ответил, что обязательно нужно и он может привести пример невыпуклого многоугольника с точкой, где не существует прямая с указанным свойством. Но какой именно у него пример, я так и не спросил.
Наверное, профессор ошибся. Но он же профессор и ещё главный жюри конкурса