Помогите найти эволюту параболы

[Viatcheslav2]

Здравствуйте.
Пытаюсь решить следующую задачу из учебника Бохан, стр. 487, упр. 2:

Найти эволюту параболы
$x=2t \qquad y=t^2-6$

Воспользуемся формулами из этого же учебника:

$\xi=x-\frac{x'^2_t+y'^2_t}{x'_ty''_t-x''_ty'_t}y'_t \qquad \eta=y+\frac{x'^2_t+y'^2_t}{x'_ty''_t-x''_ty'_t}x'_t$

Решаем:
$x_t'=2 \qquad x''_t=0 \qquad y'_t=2t \qquad y''_t=2 \\\\ \frac{x'^2_t+y'^2_t}{x'_ty''_t-x''_ty'_t} =\frac{4+4t^2}{2\cdot2-0\cdot2t}=\frac{4+4t^2}{4}=1+t^2\\\\ \xi=2t-(1+t^2)\cdot2t=-2t^3\\ \eta=t^2-6+(1+t^2)\cdot2=3t^2-4$\\

Избавляемся от $t$ (выражаем $\xi$ через $\eta$):
$3t^2=\eta+4\\ t=(\frac{\eta+4}{3})^{1/2}\\ \xi=-2t^3=-2(\frac{\eta+4}{3})^{3/2}\\ \xi^2=4(\frac{\eta+4}{3})^{3}=\frac{4}{27}(\eta+4)^3\\$

А правильный ответ из учебника $\xi^2=\frac{16}{243}(\eta+\frac{3}{2})^3\\$

Подскажите, пожалуйста, в чём ошибка.

[svv]

У Вас правильно. Подтвердить это можно так (если только Вы ещё доверяете этому учебнику ).

Уравнение Вашей параболы $y=\frac 1 4x^2-6$. Если бы слагаемого $-6$ не было, можно было бы использовать ответ из примера 1 на странице 485, где найдена эволюта параболы $y=ax^2$. Подставляя туда $a=\frac 1 4$, получим уравнение эволюты $\xi^2=\frac 4{27}(\eta-2)^3$.

Если сдвинуть параболу $y=\frac 1 4x^2$ на $-6$ по $y$, она совпадёт с Вашей. Эволюта при этом сдвинется так же. Для сдвига заменяем $\eta$ на $\eta+6$ и находим $\xi^2=\frac 4{27}(\eta+4)^3$.

[Viatcheslav2]

svv в сообщении #1563696 писал(а):

У Вас правильно. Подтвердить это можно так (если только Вы ещё доверяете этому учебнику ).

Уравнение Вашей параболы $y=\frac 1 4x^2-6$. Если бы слагаемого $-6$ не было, можно было бы использовать ответ из примера 1 на странице 485, где найдена эволюта параболы $y=ax^2$. Подставляя туда $a=\frac 1 4$, получим уравнение эволюты $\xi^2=\frac 4{27}(\eta-2)^3$.

Если сдвинуть параболу $y=\frac 1 4x^2$ на $-6$ по $y$, она совпадёт с Вашей. Эволюта при этом сдвинется так же. Для сдвига заменяем $\eta$ на $\eta+6$ и находим $\xi^2=\frac 4{27}(\eta+4)^3$.

Спасибо! Завтра обязательно проверю.

[Gyros]

Оживлю и обогащу тему, если, конечно, кому-то интересно увидеть как выглядит эволюта "живьем".

(Эволюта параболы как огибающая нормалей к параболе)

(Эволюта эллипса как геометрическое место центров огибающих окружностей)

PS. Сам когда-то делал анимацию в Maple.

[Viatcheslav2]

Gyros в сообщении #1563712 писал(а):

Оживлю и обогащу тему, если, конечно, кому-то интересно увидеть как выглядит эволюта "живьем".

PS. Сам когда-то делал анимацию в Maple.

Спасибо, оживили и обогатили!