Вторые производные вложенных функций

[ilghiz]

Добрый день,

я, кажется, в чем-то зациклился и запутался, пожалуйста, поправьте мои рассуждения.

Я вычисляю значение функции $E$ в точке $(x_1,...,x_n)$, а также хочу вычислить в этой же точке все ее частные первые и вторые производные по всем $(x_1,...,x_n)$.
Сама функция заданна в виде последовательных вычислений, а именно

$$\forall j=1,...,m: ~ y_j = g^{(j)}(x_1,...,x_n),$$

$$E = f(y_1,...,y_m),$$

причем все $g^{(1)},...,g^{(m)}$ и $f$ имеют частные первые и вторые производные и у меня есть функции вычисления их в виде

$g^{(j)}_{x_i}'(x_1,...,x_n)$ - первая производная по $i$-ой переменной в точке $(x_1,...,x_n)$,

$g^{(j)}_{x_i_1,x_i_2}''(x_1,...,x_n)$ - вторая производная по $i_1$-ой $i_2$-ой переменным в точке $(x_1,...,x_n)$ и для $f$ все то же самое.

Если я хочу посчитать $dE$ вектор первых производных $E$ в точке $(x_1,...,x_n)$, тогда

$$dE_i = \sum_j f_{y_j}'(y_1,...,y_m) g^{(j)}_{x_i}'(x_1,...,x_n),$$

и, я уверен (с точностью до описки) что понимаю как это сделать, а вот со второй производной у меня затык, я запутался.

Я пробовал так:

$$d^2E_{i_1,i_2} = \left( \sum_{j_1} f_{y_j_1}'(y_1,...,y_m) g^{(j_1)}_{x_i_1}'(x_1,...,x_n) \right)_{i_2}'$$

$$d^2E_{i_1,i_2} = \sum_{j_1,j_2} f_{y_j_1,y_j_2}''(y_1,...,y_m) g^{(j_1)}_{x_i_1}'(x_1,...,x_n) g^{(j_2)}_{x_i_2}'(x_1,...,x_n) + \sum_{j_1} f_{y_j_1}'(y_1,...,y_m) g^{(j_1)}_{x_i_1,x_i_2}''(x_1,...,x_n) $$

но выглядит как-то очень не симметрично и подсознательно чувствую, что где-то ошибаюсь. Проверьте, пожалуйста!

Спасибо!

[alcoholist]

да не, всё нормально

$$ \frac{\partial^2 E}{\partial x_i\partial x_k}=\frac{\partial^2 f}{\partial y_j\partial y_s}\frac{\partial g^{(j)}}{\partial x_i}\frac{\partial g^{(s)}}{\partial x_k}+\frac{\partial f}{\partial y_j}\frac{\partial^2 g^{(j)}}{\partial x_i\partial x_k} $$

по повторяющимся индексам суммирование

[TOTAL]

ilghiz в сообщении #1563660 писал(а):

выглядит как-то очень не симметрично и подсознательно чувствую

Запишите при $n=m=1$. Подсознательное чувство тоже как-то не очень симметрично?

[ilghiz]

Спасибо большое!!!