Old Competition

[rsoldo]

Let

$$\overrightarrow{x_0}=\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})}{1+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$$

prove that

$$\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{a}\times\left(\overrightarrow{x_0}+\overrightarrow{b}\right)$$

for all $\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\in V^3.$

[waxtep]

You can always use a dirty trick just taking $\vec{a}=(1,0,0), \vec{b}=(x,y,z)\Rightarrow\vec{x}_0=\vec{a}\times(\vec{x}_0+\vec{b})=\frac12\left(0,-y-z,y-z\right)$ but this skips all the magic

-- 24.08.2022, 16:35 --

+ somewhat funny that the problem is in fact defined by two scalars $y, z$, not two vectors

[TOTAL]

Просто подставил, использовал свойство двойного векторного произведения $BAC-CAB$.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1563404 писал(а):

+ somewhat funny that the problem is in fact defined by two scalars $y, z$, not two vectors

Even simpler: one scalar, not two, as we can safely assume that $\vec{a}\bot\vec{b}$

-- 24.08.2022, 18:21 --

So, $\vec{a}\vec{a}=1,\vec{a}\vec{b}=0,\vec{a}\times\vec{b}\equiv\vec{c}\Rightarrow\vec{a}\times\vec{c}=-\vec{b},\vec{x}_0=\frac12(\vec{c}-\vec{b})=\vec{a}\times(\vec{x}_0+\vec{b})$

[waxtep]

For fun's sake, the most sophisticated way of writing the same I was able to find: let $k=\dfrac{\vec{a}\vec{b}}{a^2}$ - the problem defining scalar and $\vec{d}=\vec{b}-k\vec{a}$ - the portion of $\vec{b}$ that is orthogonal to $\vec{a}$.
Note that $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{d},\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})=-a^2\vec{d}$
Hence,
$\vec{a}\times(\vec{x}_0+\vec{b})=\dfrac1{1+a^2}\,\vec{a}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}+\vec{d}+k(1+a^2)\vec{a}\right)=\dfrac1{1+a^2}\left(\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})+\vec{a}\times\vec{b}\right)$

[Dendr]

TOTAL в сообщении #1563407 писал(а):

Просто подставил, использовал свойство двойного векторного произведения

Собственно, так и есть. Я сначала решил выпендриться, записывая векторные произведения через антисимметричный тензор, но быстро (почти сразу) сообразил, что проще оперировать с вектором $\vec{y}=\vec{x_0}(1+a^2)$. Второе выражение из условия выглядит точно также, а в первом исчезнет знаменатель.

[dx_dyf]

for all $\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\in V^3 \; $ - не получится
получится только - for all $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\in V^3 \; $