Arsh x через "длинный логарифм"

[e7e5]

Пожалуйста подскажите,
как получается
$Arsh x= ln(x +\sqrt{x^2+1})$

У меня есть справочник, там приводится просто формула. Хотелось бы понять, как она получена.
Куда копать?
И почему называют "длинным логарифмом"?

[ИСН]

Если у Вас есть отвратительная, муторная в выводе формула - естественно её назвать уродиной. "Отсюда, применяя уродину, получаем..."
А если их две таких?
А тогда естественно их назвать по особой примете. Этот будет "длинный логарифм", а тот - "высокий логарифм" (про тот Вы тоже, наверное, знаете? Ну вот.)

[gris]

решите уравнение$sh a = x$ относительно а. (выразив sh через экспоненты)
Это была шутка?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Пожалуйста подскажите, как получается
$Arsh(x)= ln(x +\sqrt{x^2+1})$ (Неточность исправлена --- АК)

Вас интересует $y=Arsh(x)=\ldots$. Исходите из $x=\sh y=\ldots$ и решите уравнение относительно $y$.

А лучше --- поучите математику (а не избранные параграфы математики).

[e7e5]

gris писал(а):

решите уравнение$sh a = x$ относительно а. (выразив sh через экспоненты)
Это была шутка?

Спасибо, понятно с уравнением
$e^{2a}-2x e^a-1=0$ и решением.
$a=ln(x+ \sqrt{x^2+1})$

Вот только про длинный логарфим не очень. Высокий тоже есть.
Спасибо Всем!

Добавлено спустя 17 минут 32 секунды:

Можно еще вопросик
Как бы попроще посчитать этот длинный логарифм на бумажке?
В ряд Тейлора разложить или еще проще есть вариант?
$ln(x+ \sqrt{x^2+1})=x- \frac {1} {6} *x^3 + \frac {3} {40} *x^5 +o(x^5)$

[ewert]

я лично не помню ни про длинный логарифм, ни про высокий, ни даже про широкий. Но! если пишем арксинус с большой буквы, то и логарифм следует тоже писать с большой. А если логарифм с маленькой, то и арксинус -- тоже. Иначе даже и формально неправильно выходит.

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #156223 писал(а):

В ряд Тейлора разложить или еще проще есть вариант?
$ln(x+ \sqrt{x^2+1})=x- \frac {1} {6} *x^3 + \frac {3} {40} *x^5 +o(x^5)$

Проще ряда придумать трудно. Только Вы не ряд написали, а ф-лу Тейлора с локальным остаточным членом. Такой подход не дает возможности оценить ошибку вычислений.

[GAA]

Функция $\sh{x}$ является возрастающей, поэтому на всем множестве значений этой функции $(-\infty, +\infty$) определена обратная (однозначная) функция $\mathrm{arsh}{y}$.
Функция $\ch{x}$ четная, поэтому на множестве значений этой функции $[1, +\infty$) задать однозначную обратную функцию нельзя. Через $\mathrm{Arch}{y}$ обозначается двузначная обратная, а через $\mathrm{arch}{y}$ — однозначная с областью значений $[0, +\infty)$.
На сколько мне известно, в вещественном анализе не рассматривается многозначный логарифм и $\mathrm{arsh}{y}$, поэтому написание этих функций с большой буквы выглядит не ошибкой, а недоразумением. В вещественном анализе c большой буквы в старину было принято записывать многозначные функции, но, на сегодняшний день, понятие многозначной функции, в вещественном анализе, не используется и написание функций с большой буквы обычно расценивается как недоразумение.
Добавлено

в следующем сообщении ewert писал(а):

ну, это нелепо -- вводить спецобозначение для тривиальной двузначности, описываемой значком плюс-минус

Это уже история. Какая была, такая и была.
Добавлено спустя более часа
Отголоски этой старой традиции, например, можно найти в nº 50 «Обратные тригонометрические функции» [1], где рассматриваются «бесконечнозначные»
$\mathrm{Arcsin} y = \arcsin y +2k\pi$, $\mathrm{Arccos} y = 2k\pi \pm \arccos y$, $k=\pm 1, \pm 2, \pm 3 ...$
и др.

Ref
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 (скачать с EqWorld)

Добавлено на следующий день
В учебниках на русском языке, раньше можно было встретить написание однозначных или «главных ветвей» обратных гиперболических функций с большой буквы. Из того, что под рукой сошлюсь на [2, например, с.45], [3].

Ref.
[2]. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. Демидовича. — М.: Наука, 1972.
[3]. Фильчаков П.Ф. Справочник по математике. — Киев: «Наукова думка», 1972.

[ewert]

ну, это нелепо -- вводить спецобозначение для тривиальной двузначности, описываемой значком плюс-минус

[e7e5]

Brukvalub писал(а):

Проще ряда придумать трудно. Только Вы не ряд написали, а ф-лу Тейлора с локальным остаточным членом. Такой подход не дает возможности оценить ошибку вычислений.

Подскажите, как ошибку вычислений оценить - брать весь ряд и что выписал , и сравнивать?

[GAA]

e7e5 писал(а):

Подскажите, как ошибку вычислений оценить - брать весь ряд и что выписал , и сравнивать?

Попробовать воспользоваться формулой Т. с остаточным членом в форме Лагранжа (или в форме Коши), либо воспользоваться тем, что ряд знакочередующийся.

Добавлено спустя 9 минут 49 секунд:

Только, кажется мне, лучше написать вычисление функции ln и функции квадратный корень. Все равно для больших значений аргумента будете вынуждены использовать «разложение в бесконечности», для которого нужно вычислять ln.

[e7e5]

GAA писал(а):

Попробовать воспользоваться формулой Т. с остаточным членом в форме Лагранжа (или в форме Коши), либо воспользоваться тем, что ряд знакочередующийся.

Добавлено спустя 9 минут 49 секунд:

Только, кажется мне, лучше написать вычисление функции ln и функции квадратный корень. Все равно для больших значений аргумента будете вынуждены использовать «разложение в бесконечности», для которого нужно вычислять ln.

Не понял. Т.е найти разложение для

$\frac {1} {\sqrt{x^2+1}}$?
поскольку $(ln(x+ \sqrt{x^2+1})'= \frac {1} {\sqrt{x^2+1}}$
а потом проинтегрировать сумму ряда?

[GAA]

e7e5 писал(а):

Т.е найти разложение для $\frac {1} {\sqrt{x^2+1}}$? поскольку $(ln(x+ \sqrt{x^2+1})'= \frac {1} {\sqrt{x^2+1}}$ а потом проинтегрировать сумму ряда?

Не понял, что Вы не поняли. Для получения разложения $\mathrm{arsh} x$ в ряд Маклорена можно поступить и так как Вы написали. Но на деле, для выписывания ряда достаточно знать соответствующие производные в нуле. Для этого, как Вы и сделали, находим первую производную $1/\sqrt{x^2+1}$, а затем последующие производные разложением $1/\sqrt{x^2+1}$ в ряд Маклорена. Практически, второй способ --- это то же самое, что и первый.

[e7e5]

GAA писал(а):

Но на деле, для выписывания ряда достаточно знать соответствующие производные в нуле. Для этого, как Вы и сделали, находим первую производную $1/\sqrt{x^2+1}$, а затем последующие производные разложением $1/\sqrt{x^2+1}$ в ряд Маклорена.

$1/\sqrt{x^2+1}$
раскладывая в ряд, получаем
$1+ \sum\limit_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n(2n-1)!!} {(2n)!!} x^{2n}$

Теперь интегрируется полученный ряд, так что


$ln(x+ \sqrt{x^2+1})=x+ \sum\limit_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n(2n-1)!!} {(2n)!!}* \frac {x^{2n+1}} {2n+1}$

или, как на Mathworld записано:
$sinh^{-1}x= \sum\limit_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n(2n-1)!!} {(2n)!!}* \frac {x^{2n+1}} {2n+1}$

Так как же отсюда понять, какая погрешность в вычислении, если взять первых сколько-то членов в ряду? Можете ли написать?

[Brukvalub]

1. Вам предлагали написать не ряд, а ф-лу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа или Коши или еще какого-либо вида, позволяющего оценить величину этого ост. члена.
2. При манипуляциях с рядами полезно определять область их сходимости и то множество, на котором они сходятся к раскладываемой функции.
3. Если взять х таким, чтобы модуль общего члена ряда монотонно убывал, то ряд станет Лейбницевым. Для таких рядов ошибка замены суммы ряда на его частичную сумму не превосходит модуля первого из отброшенных членов.