Интегральное уравнение (не из задачника)

[balodja]

Доброго времени суток!

Пытаюсь решить следующее интегральное уравнение для $f(x, y)$:

$$f(x, y) = \delta(x - 1) \delta(y - 1) + \int\limits_{1}^{1/x} t \cdot f(tx, ty - t + 1) dt + \int\limits_{1}^{1/y} t \cdot f(tx - t + 1, ty) dt.$$

Здесь функция $f(x, y)$ -- это плотность вероятности (ненормированная), определена на $[0, 1] \times [0, 1]$. На $x$ и $y$ есть ограничение $x + y \geqslant 1$.
Интегралы берутся, захватывая пределы. Умышленно не стал писать $1-0$ и $1/x+0$.

Далее, что к текущему моменту смог понять.

Во-первых, меру можно разделить на четыре части -- две линейно распределённых вероятности на $x = 1, y \in (0, 1)$, на $x \in (0, 1), y = 1$. Одна сосредоточенная вероятность на $x = 1, y = 1$. А на $(0, 1) \times (0, 1)$ гладкая плотность распределения. Причём функция $f(x, y) = f(y, x)$ симметрична.

Во-вторых, можно найти меру при $y = 1$, например. Возьмём часть $f(x, y)$, которая содержит $\delta(y - 1)$. Приняв $f(x, y) = g(x) \delta(y - 1) + \ldots$, получаем уравнение для $g(x)$:

$$g(x) = \delta(x - 1) + \int\limits_1^{1/x} g(xt) dt.$$

Оно несложно решается методом последовательных приближений. Получаются ряд и его сумма:

$$g(x) = \delta(x - 1) + \frac{1}{x} + \frac{-\ln(x)}{x} + \frac{\ln(x)^2}{2 x} + \frac{-\ln(x)^3}{6 x} + \ldots = \delta(x - 1) + \frac{1}{x^2}.$$

Таким образом у меня есть ответ, каковы те две линейно распределённые вероятности на границах квадрата. Сосредоточенная вроде как очевидна.

В-третьих, пробовал последовательными приближениями составить решение для задачи целиком. Примем для сокращения

$$\begin{matrix} T_x(f) = \int\limits_{1}^{1/x} t \cdot f(tx, ty - t + 1) dt,\\ T_y(f) = \int\limits_{1}^{1/y} t \cdot f(tx - t + 1, ty) dt, \\ f_0(x, y) = \delta(x - 1) \delta(y - 1).\end{matrix}$$

Получились следующие фрагменты ряда, простой систематичности в которых мне найти не удалось:

$$ \begin{array}{l} T_x(f_0) = \frac{1}{x} \delta(y - 1), \\ T_x(T_x(f_0)) = \frac{-\ln(x)}{x} \delta(y - 1), \\ T_y(T_x(f_0)) = \frac{1}{y (x + y - 1)}, \\ T_x(T_x(T_x(f_0))) = \frac{\ln(x)^2}{2x} \delta(y - 1), \\ T_y(T_x(T_x(f_0))) = \frac{\ln(y) - \ln(x + y - 1)}{y (x + y - 1)}, \\ T_x(T_y(T_x(f_0))) = \frac{\ln(x) + \ln(y) - \ln(x + y - 1)}{(1 - y) (x + y - 1)}, \\ T_y(T_y(T_x(f_0))) = \frac{-\ln(y)}{y(x + y - 1)}. \end{array} $$

Cимметричные члены, которые получаются перестановкой $x$ и $y$, я не приводил.

Вот сейчас думаю, как вообще дальше быть. Есть несколько мыслей, не дающих пока конкретных результатов:

1. При заменах $x \mapsto t x, y \mapsto t y - t + 1$ и $x \mapsto t x - t + 1, y \mapsto t y$ выражение $x + y - 1$ преобразуется в $t (x + y - 1)$. Если найти ещё одну подобную однородность, то можно было бы сделать замену переменных, от которой два интеграла могли бы стать одним. Возможно :)
2. Возможно, что есть замена, которая уйдёт от интегрирования по множителю $t$ к более фредгольмовскому типу уравнения, но пока не получается её сконструировать.
3. Ещё думал попробовать разложить $f(x, y)$ по ортогональным многочленам или специальным функциям каким, но пока не вижу пользы от них.
4. Найти собственные числа и функции интегрального оператора в виде суммы двух интегралов справа тоже пока не получилось. Даже не представляю, как к этому подступиться в этой задаче.

В общем, если будут у кого умные (или не очень) мысли, буду крайне благодарен. Спасибо!

-- 11.08.2022, 04:55 --

Видимо, место этого топика -- в разделе "Общие вопросы". Я не сразу понял, куда лучше писать. Прошу перенести, если это возможно, конечно.

[balodja]

Выше уже было сказано, как найти сосредоточенные полоски и точечную вероятность в $(1, 1)$. Это знание можно применить, чтобы исключить дельта-функции из решения и тем самым найти уравнение для гладкой составляющей вероятности. Делаем замену:

$$ f(x, y) = \delta(x - 1) \delta(y - 1) + \frac{\delta(x - 1)}{y^2} + \frac{\delta(y - 1)}{x^2} + f_1(x, y). $$

После подстановки в исходное уравнение получаем уравнение для $f_1(x, y)$:

$$f_1(x, y) = \frac{2}{(x + y - 1)^2} + \int\limits_{1}^{1/x} t \cdot f_1(tx, ty - t + 1) dt + \int\limits_{1}^{1/y} t \cdot f_1(tx - t + 1, ty) dt.$$

Пока это всё.

[alcoholist]

мне кажется, или у интеграла от $\frac{1}{y^2}\delta(1-x)$ по треугольнику $\{(x,y):0\le x\le 1,1-x\le y\le 1\}$ проблемы со сходимостью?

[balodja]

Да, со сходимостью на границе $x + y = 1$ есть проблемы. Но они не должны смущать, т.к. меня интересуют значения функции внутри области. В постановке задачи эту границу стоит исключить, конечно. Но я поправить исходный пост уже не могу.

На содержательную часть задачи этот момент не влияет (sic!). Потому что интегралы не используют более близкие к этой границе точки, чем исходная $(x, y)$. Это будет очевидно, если задаться $x + y - 1$ и посмотреть, какие значения примет $x_1 + y_1 - 1$, например, при $x_1 = tx$, $y_1 = ty - t + 1$. Получается же $x_1 + y_1 - 1 = t \cdot (x + y - 1)$, а $t \geqslant 1$.

[balodja]

Есть некоторый прогрес по задаче. Нашёл неплохую параметризацию: $\xi = \frac{x + y - 1}{y}$, $\eta = \frac{x + y - 1}{x}$. При такой замене и введении новой функции $g(\xi, \eta)$ по правилу

$$f(x, y) = \frac{1}{x y (x + y - 1)} \cdot g\!\left(\frac{x + y - 1}{y}, \frac{x + y - 1}{x}\right)$$

исходное уравнение (после плясок с параметром интегрирования) преобразуется к

$$g(\xi, \eta) = \delta(\xi - 1) \delta(\eta - 1) + \frac{\xi}{\xi + \eta - \xi \eta} \int\limits_\eta^1 g(\xi, \tau) \frac{d\tau}{\tau} + \frac{\eta}{\xi + \eta - \xi \eta} \int\limits_\xi^1 g(\tau, \eta) \frac{d\tau}{\tau}.$$

Исключение "дельт" $g(\xi, \eta) = \delta(\xi - 1) \delta(\eta - 1) + \frac{\delta(\xi - 1)}{\eta} + \frac{\delta(\eta - 1)}{\xi} + g_1(\xi, \eta)$ даёт уравнение для непрерывной компоненты $g_1(\xi, \eta)$:

$$g_1(\xi, \eta) = \frac{2}{\xi + \eta - \xi \eta} + \frac{\xi}{\xi + \eta - \xi \eta} \int\limits_\eta^1 g_1(\xi, \tau) \frac{d\tau}{\tau} + \frac{\eta}{\xi + \eta - \xi \eta} \int\limits_\xi^1 g_1(\tau, \eta) \frac{d\tau}{\tau}.$$

Замена совсем не очевидная. Чтобы ей проникнуться, запилил иллюстрацию. На картинке в координатах приведены область определения функции $f(\cdot, \cdot)$ и точка $(x, y)$ внутри этой области, а соответствующие данной точке пути интегрирования выделены чёрным. Чтобы эти пути стали вертикальным и горизонтальными, выбраны новые переменные в виде синих отрезков.

При такой замене область определения функции преобразуется к $(0, 1]\times(0, 1]$, а проблемная граница $x + y = 1$ преобразуется в две других границы $\xi = 0$ и $\eta = 0$.

Множитель перед $g(\cdot, \cdot)$ выбран таким, чтобы все функции от $\xi$ и $\eta$ вынести за знак интеграла, оставить внутри только $\tau$.

[balodja]

Предложенный выше вид

$$g_1(\xi, \eta) = \frac{2}{\xi + \eta - \xi \eta} + \frac{\xi}{\xi + \eta - \xi \eta} \int\limits_\eta^1 g_1(\xi, \tau) \frac{d\tau}{\tau} + \frac{\eta}{\xi + \eta - \xi \eta} \int\limits_\xi^1 g_1(\tau, \eta) \frac{d\tau}{\tau}.$$

подошёл бы для решения методом Фурье (разложение решения по сумме произведений), но у меня пока не получилось соорудить его.

Возможно, что кто-нибудь знает короткий путь для решения уравнения в альтернативным виде

$$g_1^\star(\xi, \eta) = 2 + \int\limits_\eta^1 \frac{\xi}{\tau (\xi + \tau - \xi \tau)} g_1^\star(\xi, \tau) d\tau + \int\limits_\xi^1 \frac{\eta}{\tau (\tau + \eta - \tau \eta)} g_1^\star(\tau, \eta) d\tau,$$

полученном заменой $g_1(\xi, \eta) = \frac{g^\star_1(\xi, \eta)}{\xi + \eta - \xi \eta}$. Тут более фредгольмоподобная история.

[mihiv]

Представим $g_1$ в виде суммы симметричной и антисимметричной относительно перестановки аргументов частей:$g_1(x,y)=g_s(x,y)+g_a(x,y)$. Тогда для $ g_s,g_a$ можно свести задачу к кравнениям в частных производных, может быть,это будет проще.

[balodja]

Тут вроде по задаче и по построению у всех рассматриваемых функций нет антисимметричных компонент. Они все симметричны.

Как свести какое-нибудь из рассматриваемых уравнений к уравнению в частных производных -- я ещё не понял. Буду благодарен, если подскажете метод.

Upd. Чёрт, оно же тривиально сводится к частным производным. Интересное направление, спасибо, обязательно попробую!

[mihiv]

Любую функцию двух переменных можно представить в таком виде ,взяв $g_s=\frac {g(x,y)+g(y,x)}2, g_a=\frac {g(x,y)-g(y,x)}2$. Подставляя в исходное уравнение и приравнивая симметричные и анти симметричные части справа ислева, получим,например, уравнение:

$$ (\xi +\eta -\xi \eta )g_a=\xi \int \limits _{ \eta }^1g_a(\xi ,\tau )\frac {d\tau }{\tau }-\eta \int \limits _{\xi }^1g_a(\eta ,\tau )\frac {d\tau }{\tau }$$

Дифференцируем по $\xi $, а потом по $\eta .$

[balodja]

Всем спасибо! Задачу удалось решить наконец-таки. Ответ:

$$ f_1(x, y) = \frac{2}{(x + y - 1)^3}.$$

Решение у меня получилось застрельным, с кучей замен и переобозначений :(

Красивого пути пока найти не получилось найти. Если кто догадается, как сделать красиво, сообщите, пожалуйста.