Функция распределения

[Andrey from Mos]

$X$ может принять любое значение до $x$. Конечно, берется вероятность попадания в интервал до $x$ (не вероятность в точке). Ну а уж в какую точку попадет, это куда бог пошлет. Тогда, наверное, можно сказать, что $F(x)$ -значение функции в точке икс, и ей соответствует вероятность попадания св. в интервал ДО $x$
Может, так правильно сказать?

A, B - события, как я помню

[Someone]

Andrey from Mos в сообщении #1562263 писал(а):

A, B - события, как я помню

А все прочие? Там было ещё четыре каких-то штуки:

Someone в сообщении #1562257 писал(а):

$\mathbf P(AB)$, $\mathbf P(A+B)$, $\mathbf P(S_n=k)$, $\mathbf P(X<x)$

Но уже даже здесь возникает вопрос к Вам: если в $\mathbf P(A)$ аргументом функции $\mathbf P$ является событие, то как понимать ваше

Andrey from Mos в сообщении #1562254 писал(а):

у них же аргументы берутся с одной и той же числовой оси.

Там был ещё один вопрос:

Someone в сообщении #1562257 писал(а):

Andrey from Mos в сообщении #1562248 писал(а):

что-то в рассуждениях не логично или чему-то противоречит?

Andrey from Mos в сообщении #1562245 писал(а):

вероятность берется в точке ДО $x$.

В какой именно?

Andrey from Mos в сообщении #1562263 писал(а):

$X$ может принять любое значение до $x$. Конечно, берется вероятность попадания в интервал до $x$ (не вероятность в точке). Ну а уж в какую точку попадет, это куда бог пошлет. Тогда, наверное, можно сказать, что $F(x)$ -значение функции в точке икс, и ей соответствует вероятность попадания св. в интервал ДО $x$
Может, так правильно сказать?

Коряво, хотя движетесь в правильном направлении.
Вообще, это всё легко понять, если введено понятие вероятностного пространства, а без него многое повисает в воздухе. Но определение вероятностного пространства требует больше математики, чем обычно требуется инженеру, поэтому Е. С. Вентцель старается обойтись без этого понятия. Можете попробовать взять учебное пособие А. А. Боровкова "Теория вероятностей" и посмотреть, что это такое и как там определяются случайные величины.

В общем, Вам нужно понять, что такое невозможное событие, достоверное событие, противоположное событие, сумма и произведение событий (в более сложных случаях может встретиться сумма и произведение бесконечной последовательности событий), несовместные события, полная группа событий (я привык к тому, что требование попарной несовместности событий входит в определение полной группы событий, но у Вентцель это не так), независимые события (для двух событий и для конечного набора событий; в более сложных случаях может понадобиться независимость бесконечной последовательности событий). Усвоить, что аргументом функции "вероятность" всегда является событие, а не неведомо какое число, так что эта функция определена на множестве событий, а не на числовой оси. Что касается случайной величины, то это тоже функция, и определена она не на числовой оси и даже не на множестве событий, а на множестве "элементарных" исходов. Все события являются подмножествами множества элементарных исходов (но, вообще говоря, не каждое подмножество множества элементарных исходов является событием).
Элементарные исходы — это тоже события, но не все, а те, которые мы считаем в данном эксперименте "неделимыми": в результате нашего эксперимента всегда происходит ровно один из элементарных исходов.
Например, если мы бросаем монету и интересуемся, какой стороной она упадёт в результате подбрасывания, то у нас будет два элементарных исхода (традиционно возможностью того, что с монетой произойдёт что-нибудь неожиданное, обычно пренебрегают; например, в одном фильме, названия и сюжета которого я не помню, два персонажа решают, кто из них пойдёт в деревню; один предлагает бросить монетку с формулировкой "если орёл — идёшь ты, если решка — иду не я"; второй соглашается, подбрасывает монетку, и она втыкается ребром в грязь на дороге).
Однако нас может интересовать не сторона монетки, а её ориентация относительно сторон света. Мы рисуем на обеих сторонах стрелки, подбрасываем и смотрим направление стрелки на верхней стороне упавшей монеты. В этом случае у нас будет совсем другое множество элементарных исходов, причём, ни "орёл", ни "решка" элементарными исходами не будут.

В общем, запись $\mathbf P(X<x)$ — это сокращённый вариант полной записи. Толковать её нужно таким образом. Случайная величина $X$ является функцией, определённой на множестве элементарных исходов $\Omega$ и принимающей значения в множестве действительных чисел $\mathbb R$; поэтому неравенство $X<x$ определяет некоторое подмножество $A_x=\{\omega\in\Omega:X(\omega)<x\}\subseteq\Omega$, которое является событием (это требование входит в определение случайной величины); поэтому выражение $\mathbf P(A_x)$ имеет смысл. Поэтому мы можем определить функцию распределения случайной величины $X$ формулой $F_x(x)=\mathbf P(X<x)$. Разумеется, функция распределения случайной величины $X$ определена на множестве действительных чисел $\mathbb R$.

Я Вас не напугал? Если не напугал, посмотрите Боровкова в дополнение к Вентцель. Точные определения нужно смотреть там.

[Andrey from Mos]

Спасибо за информацию. не напугали. нашел книгу Боровкова: посмотрю, что и как там излагается. А пока что готовлю здесь решение одной задачки. Позже пришлю свой вариант решения на суд (простенькая для вас)

[Andrey from Mos]

Дан график ф.р. (функция распределения), я его придумал сам (взял от балды). Попытался описать его уравнениями подобными тем, что были в рассмотренном выше примере из книги "Теория вероятностей" (Вентцель). У автора даны в примерах просто ступенчатые функции (с горизонтальными площадками), а я взял один возрастающий участок.


На графике ф.р. есть участок непрерывного возрастания функции и два скачка (разрыва). Вероятности событий, что св. $X$ примет значения текущей переменной $x$ в точках разрыва, равны высоте скачков: $P(X=0)=0,1$ и $P(X=3)=0,1$. (надеюсь, что написал корректно)

И далее:
1) при $x\leqslant 0$ получаем $F(x)=P(X<x)=0$

2) при $0<x\leqslant 3$ получаем $F(x)=P(X=0)+P(0<X<x)$

3) при $x>3$ получаем $F(x)=P(X=0)+P(0<X<x)+P(X=3)$

Правильно ли я описал функцию в пунктах 2 и 3? (не знал, как описать возрастающий участок)

[Otta]

Andrey from Mos в сообщении #1562409 писал(а):

Дан график ф.р. (функция распределения), я его придумал сам (взял от балды).

У функции распределения есть некоторые свойства. Им, этим свойствам, должна удовлетворять всякая функция распределения.
Например, $F(+\infty)=1$. Ваша - не удовлетворяет. Значит, она не может быть ф.р.

-- 11.08.2022, 02:42 --

Andrey from Mos в сообщении #1562409 писал(а):

У автора даны в примерах просто ступенчатые функции (с горизонтальными площадками), а я взял один возрастающий участок.

Такие ф.р., в принципе, существуют. Но Вентцель распределений с такими функциями не рассматривает.

[Александрович]

Andrey from Mos в сообщении #1562409 писал(а):

не знал, как описать возрастающий участок

$F(x)=\frac{x}{30}+0,1$

[alcoholist]

Andrey from Mos в сообщении #1562409 писал(а):

Правильно ли я описал функцию в пунктах 2 и 3? (не знал, как описать возрастающий участок)

Eсли учесть замечание Otta (умножить $F(x)$ на $\frac{10}{3}$, или взять $P(X=3)=0.8$, но в любом случае $F(x)=1$ при $x>3$), то вполне.

[Andrey from Mos]

вот так лучше:


пункт 3 выглядит так: при $3<x\leqslant x_a$ (далее, как прежде)

Правильно ли дана вот эта запись - $P(0<X<x)$ для интервала, где функция растет? вот это был основной вопрос. А обратили внимание на огрех рисунка и интервала для x, указанному в п.3

Вот именно, что у Вентцель я не нашел примера, где у ф.р. сочетаются скачки и постепенный рост! А она на словах такие функции упоминает! И пишет далее: $F(x)=P(X<x)=\sum\limits_{x_i<x}^{}P(X=x_i)$. где под $x_i$ понимаются все те значение $x_i$, которые меньше x
Разве данная запись подходит для таких вот (смешанных) функций?? Вот с этого места и началось копание!
И как называется такая функция, где есть участки скачков и постепенного возрастания?

PS: Запись $F(x)=\frac{x}{30}+0,1$ понимаю, но не понимаю, как ее воткнуть вот к тем записям, где значение функции дается через вероятность P

[alcoholist]

Andrey from Mos в сообщении #1562465 писал(а):

Вот именно, что у Вентцель я не нашел примера, где у ф.р. сочетаются скачки и постепенный рост! А она на словах такие функции упоминает!

Как это не упоминает? Все функции, обладающие свойствами 1-3 на стр. 73, считаются упомянутыми:) Функция вида

$$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0,&x\le 0\\ p+kx,&0<x\le 3\\ 1,&x>3\end{array}\right., $$

где $0\le p<1$ и $0<p+3k\le 1$ к таким как раз относится.

[Andrey from Mos]

Я где-то сказал, что она их не упоминает? Это вы придумали. Я сказал, что я не нашел примера такой функции. А это разные вещи.
Очевидно, вы как раз и задали функцию того вида, которую я нарисовал (и разбираю). Спасибо
получается, что ф.р. можно задавать как самую обычную функцию?

А что на счет моих вопросов в последнем посте?

[alcoholist]

Andrey from Mos в сообщении #1562474 писал(а):

Спасибо
получается, что ф.р. можно задавать как самую обычную функцию?

c.d.f. это и есть самая обычная функция, только удовлетворяющая условиям 1-3

-- Чт авг 11, 2022 18:45:39 --

Andrey from Mos в сообщении #1562474 писал(а):

А что насчет моих вопросов в последнем посте?

будьте добры, вопросы еще раз с учетом написанного мною

-- Чт авг 11, 2022 18:51:06 --

Пусть $Y$ -- дискретная случайная величина с p.m.f. $P(Y=0)=p$, $P(Y=3)=1-p$, а $Z$ -- случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0,1]$. Случайная величина $X=YZ$ имеет c.d.f.

$$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0,&x\le 0\\ p+(1-p)\frac{x}{3},&0<x\le 3\\ 1,&x>3\end{array}\right., $$

[Andrey from Mos]

Ну вот, для начала:
1. В книге Вентцель говорится, что ф.р. используется, как для непрерывных, так и для прерывных с.в. Есть ли какое-то специальное название для ф.р., которая имеет как участки плавного возрастания, так и скачки?

2. на рис. 5.2.2 Дан график ф.р. с участками плавного возрастания и скачками. А потом в тексте она пишет, что
$F(x)=\sum\limits_{x_i<x}^{}P(X=x_i)$. Правильно-ли, что график не привязан к этому выражению для ф.р.? То есть выражение для описания функции на графике не подходит: оно не учитывает участки плавного возрастания. Оно подходит только для ступенчатых функций (когда с.в. только прерывна)?

3. Придуманная мною запись для участка возрастания функции (моей придуманной функции).
Вот этот довесок, мною изобретенный, $P(0<X<x)$. Он к месту написан? корректно?


PS: ваш последний пример мне пока сложноват: не знаю латинских обозначений; предполагаю, что там речь о двух случайных исходных величинах, которые своим произведением порождают третью. x-текущая переменная, и ф.р. берется от этой x.

[alcoholist]

1. Насколько мне известно, нет. Зачем плодить лишнюю терминологию?

2. Правильно, не привязан. Там же русским языком написано "Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины".

3. Вы изобрели линейную функцию? Понимаете, если $P(X<0)=0$, как в предложенном примере, то $P(X=0)+P(0<X<x)=P(X<x)$, так что ничего нового.

[Andrey from Mos]

я не изобрел, конечно. Но автор сам же сначала пишет в этом примере $P(X<x)$, а потом более развернуто, например, $P(X=0)$. Вот я и задумался, как развернуто написать подобное для участка, где ф.р. плавно растет (а не как у автора- строго горизонтальна). Решил как бы сделать это для более общего варианта.

Пункт 2 (вашего комментария). Да, теперь тоже вижу слова "...прерывной случайной величины...", но, когда новичок читает первые разы, то не доходит. А рядом картинка, где функция имеет и плавные участки, и скачки. И подумалось, что это выражение и для нее тоже. Засомневался

Пункт 1 (вашего комментария). Ок, понял. А как такую с.в. тогда называть? которой соответствует функция имеющая и плавные участки (поднимающиеся) и скачки. Непрерывно-прерывная величина? Смешанная величина?

[Otta]

Andrey from Mos в сообщении #1562488 писал(а):

А как такую с.в. тогда называть? которой соответствует функция имеющая и плавные участки (поднимающиеся) и скачки. Непрерывно-прерывная величина? Смешанная величина?

Такие ф.р имеют смеси дискретного и непрерывного (-ых) распределений.