Интеграл от функции, домноженной функцию Гаусса

[apt]

Нужно посчитать такой интеграл:

$$\int_{-\infty}^{t_m}g(t)e^{-\beta(t-t_m)^2}dt$$

Постоянная $\beta$ такова, что экспонента в точке $t_m$ имеет очень крутой пик
Первая проблема состоит в том, как математически корректно выразить "крутость" этого пика, ибо по оси абсцисс и ординат разные размерности и в лоб написать что-то вроде $\Delta t \ll \exp(-\beta\cdot 0)$ нельзя.
Поскольку данная экспонента есть суть гауссова функция, я предположил, что это можно записать, как "на расстоянии одного СКО функция должна быть много меньше, чем в центре", т.е. здесь $\sigma = 1/\sqrt{2\beta}$

$$\exp\left(-\beta((t_m+\sigma)-t_m)^2\right)=\exp\left(-\beta\sigma^2\right)=\exp(-0.5)\ll 1$$

Но получается, что данное предположение не зависит от конкретной задачи и сводится к $0.6065...\ll1$
В данном случае $\beta \approx 0.9 \cdot 10^9;\quad \sigma \approx2.2\cdot10^{-5};\quad t_m\approx 0.02$
Вторая проблема найти интеграл. Я предполагаю, что можно воспользоваться тем, что экспонента является очень резкой функцией $t$ в районе $t_m$ и заменить её на соответствующую дельта-функцию

$$\int_{-\infty}^{t_m}g(t)e^{-\beta(t-t_m)^2}dt=\int_{-\infty}^{t_m}g(t)\delta(t-t_m)dt=g(t_m)$$

Верно ли такое вычисление?

[svv]

apt в сообщении #1562339 писал(а):

Постоянная $\beta$ такова, что экспонента в точке $t_m$ имеет очень крутой пик
Первая проблема состоит в том, как математически корректно выразить "крутость" этого пика

Этот пик крут не сам по себе. Важно то, что на промежутке [$t_m$ плюс-минус несколько сигм] мало меняется функция $g(t)$. Ведь если $g(t)$ скачет ещё в 10 раз быстрее, чем гауссиана, Вы уже не назовёте пик крутым.
Итак, надо выразить, что функция $g(t)$ меняется в пределах пика гораздо медленнее, чем гауссиана:
$\left|\dfrac{g(t_m+\xi\sigma)-g(t_m)}{g(t_m)}\right|\ll 1$,
где $\xi$ — число порядка нескольких единиц ("количество сигм").

Цитата:

Верно ли такое вычисление?

Нет. Достаточно подставить $g(t)\equiv 1$ (в этом случае известно точное значение интеграла). Для самого-самого грубого приближения дельта-функция сгодилась бы, но Вы взяли при ней неверный коэффициент, равный единице.

Правильный метод: разложите $g(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t_m$ и возьмите два-три первых члена.

Встречный вопрос: что известно о функции $g(t)$ ? Симметрична ли она относительно точки $t=t_m$ ?

[alcoholist]

svv в сообщении #1562342 писал(а):

Встречный вопрос: что известно о функции $g(t)$ ? Симметрична ли она относительно точки $t=t_m$ ?

вряд ли этот вопрос принципиален:))

apt в сообщении #1562339 писал(а):

Я предполагаю, что можно воспользоваться тем, что экспонента является очень резкой функцией $t$ в районе $t_m$ и заменить её на соответствующую дельта-функцию

интеграл $\int\limits_{-\infty}^0(-x)^{-1/2}e^{-\beta x^2}{\mathrm{d}x}\sim\beta^{-1/4}$ прекрасно сходится, а дельта-функция принесет беду.

[apt]

svv в сообщении #1562342 писал(а):

Встречный вопрос: что известно о функции $g(t)$ ? Симметрична ли она относительно точки $t=t_m$ ?

Функцию $g(t)$ можно записать как

$$g(t)=\left(\frac{\lambda}{\theta_m-\alpha\cdot(t-t_m)^2}-\gamma\cdot(t_m-t)\right)^3\qquad g(t_m)=\left(\frac{\lambda}{\theta_m}\right)^3$$

где $\lambda, \theta_m, \alpha, \gamma$ - константы

$$\left|\dfrac{g(t_m+\sigma)-g(t_m)}{g(t_m)}\right|\approx 54$$

Т.е., получается, меняется сильно. Только почему мы сравниваем с единицей? Разве мы не должны сравнивать с изменением экспоненты на том же отрезке, т.е. с $(e^{-0.5}-1)/1$?

svv в сообщении #1562342 писал(а):

Правильный метод: разложите $g(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t_m$ и возьмите два-три первых члена.

Спасибо, получается
Только там функция ошибок с некоторыми (например, с первым) членами разложения появляется, нельзя ли как-то без неё?

[alcoholist]

svv в сообщении #1562342 писал(а):

разложите $g(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t_m$

если функция дифференцируема:) Как быть с $g(t)=\left|t-t_m\right|^{-1/2}$ ?

[GAA]

apt в сообщении #1562339 писал(а):

$$\int_{-\infty}^{t_m}g(t)e^{-\beta(t-t_m)^2}dt$$

apt в сообщении #1562363 писал(а):

Функцию $g(t)$ можно записать как

$$g(t)=\left(\frac{\lambda}{\theta_m-\alpha\cdot(t-t_m)^2}-\gamma\cdot(t_m-t)\right)^3\qquad g(t_m)=\left(\frac{\lambda}{\theta_m}\right)^3$$

где $\lambda, \theta_m, \alpha, \gamma$ - константы

Можно сделать замену независимой переменной и получить интеграл с пределами интегрирования от $-\infty$ до 0.
В выражении для $g(t)$ имеется $\frac{\lambda}{\theta_m-\alpha\cdot(t-t_m)^2}$. Если $\alpha < 0$, то интеграл выражается через функцию ошибок [и, возможно, интегральную экспоненту]. [Можно предварительно в какой-нибудь СКА посчитать, а потом уже аккуратно руками]. Дальше можно попробовать посмотреть асимптотики, если от функции ошибок нужно избавиться. [Это если метод Лапласа не хочется использовать.]

-- Wed 10.08.2022 17:09:54 --

Maple 7 выдал главный член разложения по $\beta$: $\frac 5 {16} \frac {\sqrt \pi \lambda^3} {\theta ^{3} \sqrt \beta}$.

-- Wed 10.08.2022 17:28:00 --

Как-то особого доверия это член разложения у меня не вызывает, но этот результат, возможно, придаст Вам силы попробовать вычислить вручную.

[apt]

GAA в сообщении #1562372 писал(а):

Если $\alpha < 0$, то интеграл выражается через функцию ошибок [и, возможно, интегральную экспоненту]

$\alpha>$, интегральная экспонента была бы, если бы не было куба, а так только функция ошибок

GAA в сообщении #1562372 писал(а):

Maple 7 выдал главный член разложения по $\beta$: $\frac 5 {16} \frac {\sqrt \pi \lambda^3} {\theta ^{3} \sqrt \beta}$.

А для чего мы раскладываем по $\beta$?

GAA в сообщении #1562372 писал(а):

Дальше можно попробовать посмотреть асимптотики, если от функции ошибок нужно избавиться

Я что-то напутал, там же функция ошибок везде появляется как $erfc\left(C\cdot (t-t_m)\right)$, а т.к. интеграл определённый, то там либо $erfc(0)=0$, либо $erfc(-\infty)=-1$

Большое спасибо, по сути проблема решена

[GAA]

Если $\alpha > 0$ и $\theta_m > 0$, то знаменатель может при некотором значении $t$ обратиться в ноль. Это как-то надо исследовать. Но если проблема решена, то и чудесно.

[svv]

alcoholist в сообщении #1562365 писал(а):

svv в сообщении #1562342 писал(а):

разложите $g(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t_m$

если функция дифференцируема:) Как быть с $g(t)=\left|t-t_m\right|^{-1/2}$ ?

Я предполагал, что функция мало меняется в пределах пика (писал об этом в первой части своего сообщения). Что-либо советовать, ничего не предполагая о $g$, я бы не рискнул.

alcoholist в сообщении #1562350 писал(а):

svv в сообщении #1562342 писал(а):

Встречный вопрос: что известно о функции $g(t)$ ? Симметрична ли она относительно точки $t=t_m$ ?

вряд ли этот вопрос принципиален:))

Я здесь проверял предположение, что некий исходный интеграл был от $-\infty$ до $+\infty$, а функция $g$ имеет свойство $g(t_m+a)=g(t_m-a)$. Учитывая это, получили интеграл от $-\infty$ до $t_m$. Он выглядит менее симпатично, и я бы вернулся к исходному промежутку.
Но и тут я не угадал.

apt в сообщении #1562363 писал(а):

Т.е., получается, меняется сильно.

Да, и для метода, который я предложил, это плохо.

apt в сообщении #1562363 писал(а):

Только почему мы сравниваем с единицей? Разве мы не должны сравнивать с изменением экспоненты на том же отрезке, т.е. с $(e^{-0.5}-1)/1$?

Чтобы обоснованно заменить $g(t)$ на константу $g(t_m)$ в пределах отрезка в несколько сигм. Как ведёт себя $g$ (физически осмысленная функция) за пределами отрезка, в силу малости экспоненты несущественно. Тогда получаем интеграл от $-\infty$ до $\infty$ (или до $t_m$) от экспоненты, а он уже берётся. Значения самой экспоненты на отрезке меняются от 1 до почти нуля, это нормально.
Если в качестве аппроксимации $g$ на отрезке взять полином, точность можно увеличить, а интеграл всё равно вычисляется аналитически. Но конкретно Ваша функция, боюсь, плохо аппроксимируется в пределах пика как константой, так и полиномом.

[alcoholist]

apt в сообщении #1562377 писал(а):

А для чего мы раскладываем по $\beta$?

Если

apt в сообщении #1562339 писал(а):

Постоянная $\beta$ такова, что экспонента в точке $t_m$ имеет очень крутой пик

то $\beta>>1$, поэтому естественно представлять интеграл в виде ряда по обратным степеням этого параметра

[apt]

svv в сообщении #1562399 писал(а):

Я здесь проверял предположение, что некий исходный интеграл был от $-\infty$ до $+\infty$

Исходный интеграл действительно был, но у него оба предела были конечны.

$$\int_{t_1}^{t_m}g(t)\cdot\exp\left(-\beta\cdot(t-t_m)^2\right)$$

Просто мне сказали, что можно нижний предел взять как минус бесконечность, хотя по идее $t$ - время, а при $t$ меньшем нижнего предела функция $g(t)$ не существует.
Если интересно, вот график функции ($t_1\approx0.0174$, $t_m\approx0.0236$)(спойлеры на этом форуме почему-то не работают)

Я так понимаю, что мы принимаем нижний предел бесконечным, т.к. там экспонента

svv в сообщении #1562399 писал(а):

Но, боюсь, конкретно ваша функция плохо аппроксимируется в пределах пика константой или полиномом

Глядя на график, вроде бы можно аппроксимировать, например, убывающей квадратичной функцией, нет?

svv в сообщении #1562399 писал(а):

apt в сообщении #1562363 писал(а):

Т.е., получается, меняется сильно.

Да, и для метода, который я предложил, это плохо.

Каким же тогда методом искать?
Посчитал, как вы предложили - посчиталось и даже более-менее сошлось со статьёй, откуда я это взял

[svv]

Ну, если у Вас получилось — это хорошо.

График функции $g$ у Вас обнадёживающий, только я не понимаю, как он согласуется с той формулой, которую Вы приводили. Её можно записать в виде
$\left(\frac{\lambda}{\theta_m-\alpha z^2}-\gamma z\right)^3$,
где $z=t_m-t$. При больших $z$ (т.е. далеко влево от $t_m$) эта штука растёт как $z^3$, а функция на графике быстро убывает. Конечно, можно взять очень-очень малое $\gamma$, но тогда функция будет почти симметрична относительно $t=t_m$, чего опять-таки не наблюдается.