Неравенство Сильвестра

[neznaualgebry]

Помогите доказать, что $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B) - {s} \leqslant \operatorname{rank}(AB)$
при условии, что $А$ - матрица $m\times s$ и $B$ матрица $s\times n$.
Пытался выделить базис в пространстве столбцов матрицы $A$. Получив классическую оценку $\operatorname{rank}(AB) \leqslant \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)) $, после мои попытки действовать в этом направлении успехов не принесли. Помимо этого пытался исследовать множество эквивалентных матриц (в смысле равенства ранга), но там тоже дальше упомянутого выше соотношения не продвинулся.

[nnosipov]

А линейные отображения уже изучали? Здесь полезно рассмотреть линейные отображения, заданные этими матрицами (ранг матрицы --- это размерность образа соответствующего линейного отображения).

Кстати, называется эта штука неравенством Сильвестра.

[neznaualgebry]

nnosipov в сообщении #1562079 писал(а):

А линейные отображения уже изучали? Здесь полезно рассмотреть линейные отображения, заданные этими матрицами (ранг матрицы --- это размерность образа соответствующего линейного отображения).

Кстати, называется эта штука неравенством Сильвестра.

Да, изучением образа я и занялся( линейное пространство столбцов матрицы), но получить удалось лишь оценку, которую я выше указал

[Pphantom]

Название темы сменено на более содержательное.

[alcoholist]

neznaualgebry в сообщении #1562077 писал(а):

Помогите доказать, что $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B) - {s} \leqslant \operatorname{rank}(AB)$

Если немножко изменить, $\operatorname{rank}(A)-\operatorname{rank}(AB) \leqslant s-\operatorname{rank}(B)$, то становится понятней. Вот эти $s-\operatorname{rank}(B)$ столбцов при отображении $A$ отображаются на $\operatorname{rank}(A)-\operatorname{rank}(AB)$ столбцов.

[neznaualgebry]

alcoholist в сообщении #1562104 писал(а):

neznaualgebry в сообщении #1562077 писал(а):

Помогите доказать, что $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B) - {s} \leqslant \operatorname{rank}(AB)$

Если немножко изменить, $\operatorname{rank}(A)-\operatorname{rank}(AB) \leqslant s-\operatorname{rank}(B)$, то становится понятней. Вот эти $s-\operatorname{rank}(B)$ столбцов при отображении $A$ отображаются на $\operatorname{rank}(A)-\operatorname{rank}(AB)$ столбцов.

Спасибо большое.