Векторные и аффинные пространства

[EminentVictorians]

Sinoid в сообщении #1562056 писал(а):

достаточно вектор приложить к началу координат (не углубляясь в дебри).

Вот-вот. О том и речь. Мы все равно понимаем вектора как радиус-вектора, так почему бы не сделать векторное пространство производным от аффинного, а не наоборот.

Geen в сообщении #1562057 писал(а):

А зачем? Вот у меня есть сфера, допустим, и касательные вектора в некоторой её точке...

Это же подтверждает мысль про направленные отрезки. Или я не так понял?

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

Да я понимаю, что эти классы пар соберутся в векторное пространство. Проблема не в этом. Проблема не в том, чтобы доказать, а в том, чтобы определить.

Так вот уже определили ассоциированное векторное пространство для данного аффинного как множество классов эквивалентности пар! Выполнение аксиом векторного пространства на этом множестве следует из аксиом для операции $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$ из определения аффинного пространства.

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

Т.е. вектор - это просто точка.

Здесь слово "точка" -- это синоним слова "элемент".

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

В каком месте функция похожа на направленный отрезок вообще. Ни в каком. Функция - это просто точка. Точка множества функций.

Вот замените здесь слово "точка" словом "элемент". Поймите, вы в плену визуальной связи между вашим десигнатом слова "отрезок", который вы воспринимаете как "нечто, имеющее пару точек в качестве своих концов".

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

Есть сдвиг от одной функции к другой функции. Вот он вектор и есть.

Тут уж такое неслучайное счастье в том состоит, что этот "сдвиг", "вектор", есть разность функций, то есть -- функция. Любую функцию можно воспринимать как "сдвиг", "вектор" из нулевой функции в нее саму.

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

Таким образом, мне надо определить, что такое аффинное пространство.

Аффинным пространством над полем $\mathbb{F}$ называется множество $\mathcal{A}$, элементы которого называются точками, вместе с операцией $\mathcal{A}\times \mathcal{A}\times \mathbb{F}\to \mathcal{A}$, обозначаемой $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$, удовлетворяющей следующим аксиомам:

Сформулируйте эти аксиомы!

[EminentVictorians]

alcoholist в сообщении #1562068 писал(а):

Аффинным пространством над полем $\mathbb{F}$ называется множество $\mathcal{A}$, элементы которого называются точками, вместе с операцией $\mathcal{A}\times \mathcal{A}\times \mathbb{F}\to \mathcal{A}$, обозначаемой $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$, удовлетворяющей следующим аксиомам:

Сформулируйте эти аксиомы!

Я не смогу. Я вообще не понимаю, что происходит. Но это бы пол беды. Мне сама операция не нравится, она выглядит максимально неестественно.

Вот складывать точку и вектор - это естественная операция.

Вот Вы определяли эквивалентность на парах точек в этом сообщении:

alcoholist в сообщении #1562008 писал(а):

Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.

Здесь тоже тернарные операции? Или бинарные?

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1562075 писал(а):

Мне сама операция не нравится, она выглядит максимально неестественно.

Определяем прямую по двум точкам, что неестественного?

EminentVictorians в сообщении #1562075 писал(а):

Вот складывать точку и вектор - это естественная операция.

Векторов пока нет. Но если очень хочется, перепишите эту операцию как $A,B,t\mapsto B+t(A-B)$.

EminentVictorians в сообщении #1562075 писал(а):

Здесь тоже тернарные операции? Или бинарные?

$X+A-B=2\left(\frac{1}{2}X+\left(1-\frac{1}{2}\right)A\right)+(1-2)B$, композиция

[EminentVictorians]

Ладно, видимо на данный момент для меня нереально все это понять. alcoholist, спасибо за помощь, вернусь к Вашим постам, когда смогу хоть немного начинать понимать эту тему.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

Я не хочу мыслить вектор как точку. Я хочу мыслить вектор, как в школе, как направленный отрезок. Направленный отрезок (везде в рамках этой темы под направленными отрезками подразумеваются свободные векторы, т.е. строго говоря классы направленных отрезков) - это сдвиг в каком-то направлении.

Не хотите мыслить вектор как точку - мыслите его как параллельный перенос, как отображение из аффинного пространства в себя, которое сдвигает каждую точку в заданном направлении на заданное расстояние. Собственно, параллельный перенос - это и есть сдвиг. Сумма векторов тогда - это композиция параллельных переносов.

Тогда Вы сможете определить аффинное пространство так: это множество, для которого задано множество его отображений в себя, удовлетворяющее всем свойствам, которым должны удовлетворять векторы (тут и аксиомы линейного и аффинного пространства). Ну, придётся ещё постулировать операцию умножения параллельного переноса на число, удовлетворяющую необходимым аксиомам.

На самом-то деле, так не делают потому, что линейное пространство (элементы которого можно понимать то как точки, то как векторы - как удобнее) - штука более полезная, чем аффинное пространство. Например, пространства функций (изучаемые в функциональном анализе) удобно понимать как линейные без привлечения каких бы то ни было аффинных пространств.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1562083 писал(а):

в заданном направлении на заданное расстояние.

А как в аффинном пространстве обстоят дела с метрикой? Оно же не обязано быть метрическим, верно? Может ли быть такое, что одной и той же паре точек можно приписать разные расстояния, а аффинная структура это "не заметит"?

Mikhail_K в сообщении #1562083 писал(а):

Тогда Вы сможете определить аффинное пространство так: это множество, для которого задано множество его отображений в себя, удовлетворяющее всем свойствам, которым должны удовлетворять векторы (тут и аксиомы линейного и аффинного пространства).

Попробую выписать, но перед этим хотелось бы узнать, отображения должны быть биективными или не обязательно? (мне кажется, что должны быть биективными, но вдруг ошибаюсь)

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1562089 писал(а):

А как в аффинном пространстве обстоят дела с метрикой? Оно же не обязано быть метрическим, верно? Может ли быть такое, что одной и той же паре точек можно приписать разные расстояния, а аффинная структура это "не заметит"?

Да, не обязано быть метрическим. Слова про "расстояние" в моём сообщении понимайте просто как фигуру речи, как обращение к наглядности и интуиции.

EminentVictorians в сообщении #1562089 писал(а):

Попробую выписать, но перед этим хотелось бы узнать, отображения должны быть биективными или не обязательно? (мне кажется, что должны быть биективными, но вдруг ошибаюсь)

Да, должны. Из требований, которые Вы наложите на эти отображения, биективность должна следовать.

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1562081 писал(а):

нереально все это понять

если для двух точек и произвольного $t$ определена точка $tA+(1-t)B$, то и любая комбинация $\sum\limits_{i=1}^nt_iA_i$ определена при $\sum\limits_{i=1}^nt_i=1$.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1562083 писал(а):

Тогда Вы сможете определить аффинное пространство так: это множество, для которого задано множество его отображений в себя, удовлетворяющее всем свойствам, которым должны удовлетворять векторы (тут и аксиомы линейного и аффинного пространства). Ну, придётся ещё постулировать операцию умножения параллельного переноса на число, удовлетворяющую необходимым аксиомам.

Попробую сформулировать. Рассмотрим множество $\mathbb A$, поле $\mathbb F$ и множество $M$, состоящее из отображений вида $\mathbb A \to \mathbb A$, на которое (т.е. на множество $M$) наложены следующие условия:

A. суммой отображений будем называть их композицию, относительно этой суммы $M$ есть группа преобразований множества $\mathbb A$, причем коммутативная;

B. тавтологическое действие группы $M$ на $\mathbb A$ транзитивно;

C. определена операция умножения отображения на скаляр из поля $\mathbb F$, удовлетворяющая следующим условиям:
1) $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$
2) $(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$
3) $(\lambda \mu)a = \lambda (\mu a)$
4) $1a = a$

Тройку $(\mathbb A, \mathbb F, M)$ будем называть аффинным пространством. $M$ будем называть векторным пространством, ассоциированным с данным аффинным.

Я не исключаю, что какие-то косметические моменты я может быть и не учел, но это уже мелочи. Мне кажется, что здесь более-менее все правильно. А вообще, конечно, грустно, что учебников алгебры написаны десятки, и при всем при этом надо месяцами мучиться, чтобы сформулировать элементарно определение векторного пространства. Как такое может быть - загадка.

[Slav-27]

Кстати говоря, аффинное пространство -- это по определению множество со свободным транзитивным действием векторного (рассматриваемого как абелева группа).

[Sinoid]

EminentVictorians в сообщении #1562060 писал(а):

Мы все равно понимаем вектора как радиус-вектора,

Нет! В данном случае мы начинаем понимать векторы как концы радиус-векторов, т. е. точки.

Вообще вы имеете представление о изоморфизмах? Тех же групп. Решали задачи по этому поводу? Вам бы задачи, примеры на ту тему могли бы дать хорошую почву для понимания этого.

-- 08.08.2022, 19:28 --

EminentVictorians в сообщении #1562112 писал(а):

есть группа

Вижу, что с группами вы, скорее всего, знакомы. А вот, повторюсь,

Sinoid в сообщении #1562146 писал(а):

Вообще вы имеете представление о изоморфизмах? Тех же групп.

?

[EminentVictorians]

Sinoid в сообщении #1562146 писал(а):

Вообще вы имеете представление о изоморфизмах?

Имею

[Sinoid]

Вот и замечательно. Тем легче вам будет понять это все.

[krum]

Slav-27 в сообщении #1562115 писал(а):

Кстати говоря, аффинное пространство -- это по определению множество со свободным транзитивным действием векторного (рассматриваемого как абелева группа).

а как отсюда следует тождество $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$ ?