2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 00:33 


22/10/20
1136
Я хочу определить аффинное пространство минуя векторное, а потом определить векторное, как частный случай аффинного. Собственные попытки предоставить не могу, совсем не знаю как это сделать. Хотелось бы стартовать как-то с упорядоченных пар точек аффинного пространства, потом рассмотреть какое-нибудь отношение эквивалентности на этих парах, получить вектор как класс эквивалентности. Но это максимум из того, что я могу родить.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.08.2022, 00:36 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: а зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 09:34 


22/10/20
1136
Lia в сообщении #1561982 писал(а):
а зачем?
А разве не было бы здорово, если бы любой вектор был бы упорядоченной парой точек? (точнее классом эквивалентности, но это мелочи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
EminentVictorians в сообщении #1561981 писал(а):
определить аффинное пространство минуя векторное

Рассмотрите множество точек с операцией $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 10:40 


22/10/20
1136
alcoholist в сообщении #1562001 писал(а):
Рассмотрите множество точек с операцией $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$
Каждой паре точек на прямой $AB$ и числу $t$ ставится в соответствие точка - их взвешенная комбинация. Но пока не очень понятно, как это дальше развивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
EminentVictorians в сообщении #1562006 писал(а):
взвешенная комбинация

а значит и произвольные аффинные подпространства!

Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 12:50 


22/10/20
1136
alcoholist, а можно Вас попросить написать краткий план?
alcoholist в сообщении #1562008 писал(а):
Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.
Я понимаю эту запись, но не вижу всю картину целиком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
EminentVictorians в сообщении #1562013 писал(а):
краткий план

план побега чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 16:45 


22/10/20
1136
alcoholist в сообщении #1562031 писал(а):
план чего?
Ну я имею в виду как построить аффинное пространство, ничего не зная о векторных пространствах. Какие есть операции, как они определяются.

-- 07.08.2022, 16:49 --

Я имею в виду примерно следующее: вот у нас есть пространство точек - это аффинное пространство. Классы эквивалентности упорядоченных пар точек назовем векторами. Для них справедливы аксиомы векторного пространства. Это векторное пространство и будем называть векторным пространством, ассоциированным с данным аффинным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
alcoholist в сообщении #1562008 писал(а):
Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.

Докажите, что множество пар точек с таким отношением эквивалентности является векторным пространством. Вуаля. Что еще-то надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 18:13 


22/10/20
1136
alcoholist в сообщении #1562035 писал(а):
Докажите, что множество пар точек с таким отношением эквивалентности является векторным пространством. Вуаля. Что еще-то надо?
Да я понимаю, что эти классы пар соберутся в векторное пространство. Проблема не в этом. Проблема не в том, чтобы доказать, а в том, чтобы определить.

Вот читаю я учебник алгебры. В нем говориться, что векторное пространство - это просто множество любых объектов с двумя операциями, удовлетворяющими списку требований. Т.е. вектор - это просто точка. Точка множества векторов.

Например, вектором может быть функция. Ее часто приводят в пример, когда хотят подчеркнуть, что абстрактный вектор - это не направленный отрезок, как было в геометрии в школе. Мол, забудьте про ассоциацию с направленным отрезком, теперь вектор - это просто точка. В каком месте функция похожа на направленный отрезок вообще. Ни в каком. Функция - это просто точка. Точка множества функций.

Дак вот. Все, что написано выше мне не нравится. Я не хочу мыслить вектор как точку. Я хочу мыслить вектор, как в школе, как направленный отрезок. Направленный отрезок (везде в рамках этой темы под направленными отрезками подразумеваются свободные векторы, т.е. строго говоря классы направленных отрезков) - это сдвиг в каком-то направлении. Сдвиг он всегда от чего-то к чему-то. Вот эти от и к олицетворяют идею вектора, как упорядоченной пары.

Откуда пошло, что векторное пространство функций нельзя представлять как пространство стрелочек? Есть функция. Есть сдвиг от одной функции к другой функции. Вот он вектор и есть.

Везде в учебниках, где я вижу словосочетание "векторное пространство" я хочу без ущерба для здоровья заменять его на словосочетание "аффинное пространство".

Я не хочу, чтобы аффинное пространство было ассоциировано с векторным (как в классическом определении). Я хочу чтобы векторное пространство было ассоциировано с аффинным.

Таким образом, мне надо определить, что такое аффинное пространство. На этом этапе никаких векторных пространств нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 19:34 


03/06/12
2773
EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):
множества векторов.

Дык не множества векторов, а точка векторного пространства. Усе. Кто/что мешает начать рассматривать, скажем, все множество $n$-мерных векторов рассматривать как пространство (линейную оболочку) этих самых векторов, на первых порах, пока не привыкли, не употребляя с этим словом "пространство" эпитета векторное, а векторы этого самого множества, ставшего векторным пространством - его векторами?

-- 07.08.2022, 20:41 --

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):
В каком месте функция похожа на направленный отрезок вообще. Ни в каком.

Смотря какая функция, смотря как в данном контексте принимается определенной функция. И т. д., и т. п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 19:41 


22/10/20
1136
Sinoid в сообщении #1562048 писал(а):
Дык не множества векторов, а точка векторного пространства.
Векторное пространство - это и есть множество векторов, разве нет? (ну по модулю того, что это четверка: носитель, поле и 2 операции, но это ерунда) Или я что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 20:03 


03/06/12
2773
EminentVictorians в сообщении #1562051 писал(а):
Векторное пространство - это и есть множество векторов, разве нет?

Во-первых, множество векторов - это еще не пространство. Чтобы оно таковым стало, на нем, на этом множестве, нужно определить еще известные операции. Во-вторых, даже так взять, да. Изоморфизм между точками и векторами строится почти бесплатно: достаточно вектор приложить к началу координат (не углубляясь в дебри). Так что, ну, хотите - называйте векторами, а я буду называть точками. От этого не меняется ровным счетом ничего, только, возможно, где и придется подкрутить какое-нибудь определение. Хотя в каком-нибудь другом случае мне, возможно, тоже будет удобнее называть векторами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторные и аффинные пространства
Сообщение07.08.2022, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4474
EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):
Я хочу мыслить вектор, как в школе, как направленный отрезок.

А зачем? Вот у меня есть сфера, допустим, и касательные вектора в некоторой её точке...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group