Наибольшие площади

[ET]

waxtep в сообщении #1561652 писал(а):

ET в сообщении #1561637 писал(а):

Представьте вас бы спросили про ГМТ точек таких, чтобы любые 2 из них находились на расстоянии 1 друг от друга?

Вершины равностороннего треугольника?

Какого? С какими координатами? И почему 3угольника , а не просто 2 точки?

alcoholist в сообщении #1561653 писал(а):

а это не круг радиуса $\sqrt{2\alpha}$ с центром в начале координат?

Ну, скорее эллипс той же площади с центром там же
А почему у него площадь максимальная?

[svv]

ET в сообщении #1561637 писал(а):

Там решение - 3 точки (или меньше) Причем 3 таких или 3 таких или 3 такихз или таких...

У меня точно так же.
Пусть $\mathbf r_1=(x_1, y_1)$ и $\mathbf r_2=(x_2, y_2)$, причём $x_1y_2-y_1x_2=\pm 1$.
Тогда к множеству $\{\mathbf r_1, \mathbf r_2\}$ можно присоединить ещё один (и только один) из векторов:
$+\mathbf r_1+\mathbf r_2$
$+\mathbf r_1-\mathbf r_2$
$-\mathbf r_1+\mathbf r_2$
$-\mathbf r_1-\mathbf r_2$

[ET]

svv
Поправлю себя и вас: там решение - пустое множество. Ибо в условии не написано, что для любых различных. А вообще для любых - пустое множество:-)
кто такие задачи сочиняет?

[Apinkman]

alcoholist в сообщении #1561653 писал(а):

Apinkman
а это не круг радиуса $\sqrt{2\alpha}$ с центром в начале координат?

Да, еще с таким произведением полуосей, но я не понимаю, почему это единственное расположение точек

[alcoholist]

ET в сообщении #1561656 писал(а):

Ну, скорее эллипс той же площади с центром там же

я выбрал самого симпатичного представителя орбиты действия $\mathrm{SL}_2\mathbb{R}$

[ET]

alcoholist
/Так а почему у этого площадь максимальна? Почему нет какой-то другой ерунды большей площади?

[alcoholist]

ET в сообщении #1561672 писал(а):

Так а почему у этого площадь максимальна?

я не утверждал, что площадь максимальна, я лишь задал вопрос

alcoholist в сообщении #1561653 писал(а):

а это не круг радиуса $\sqrt{2\alpha}$ с центром в начале координат?

-- Вт авг 02, 2022 10:28:07 --

ET в сообщении #1561672 писал(а):

Почему нет какой-то другой ерунды большей площади?

Черт его знает. Вот мы же можем без огорчения общности считать, что $\alpha=1$. Тогда площадь того множества $2\pi$. Доказывать неравенство

$$\mbox{что-то}\le 2\pi$$

всегда приятно.

[mihiv]

Пусть $\alpha =1$.Возьмем точку $A$ на оси $x, A(1,0)$ и точки $B(10,2), C(10,-2)$.
Тогда $S_{OAC}=S_{OAB}=1, S_{OBC}=20$, то есть получается, что пары точек $A,C$ и $A,B$ принадлежат множеству, а пара$B,C$ - не принадлежит.

[slavav]

Пусть у нас есть искомое множество. Для каждой его точки построим полосу. Все такие полосы пересечём. Пересечение полос содержит исходное множество. Пересечение полос выпукло и центрально симметрично. Пересечение полос отвечает условиям задачи.

Искать нужно среди выпуклых центрально симметричных фигур.

[alcoholist]

slavav в сообщении #1561873 писал(а):

содержит исходное множество

искомое

-- Сб авг 06, 2022 01:48:15 --

mihiv в сообщении #1561747 писал(а):

пары точек $A,C$ и $A,B$ принадлежат множеству

какому множеству?

[mihiv]

alcoholist в сообщении #1561895 писал(а):

какому множеству?

я неправильно понял условие задачи и искал не то множество.

[DeBill]

alcoholist
Ох и вредная задачка!
Я пытался делать ее тремями способами, и всегда лажа получалась.
Но вот:
Пусть точка $A$- граничная точка нашего экстремального множества $E$, тогда полоса нужной ширины, с осью вдоль $OA$, содержит точку $B$ нашего множества, и все множество - в этой полосе. Потому $B$ лежит на границе $\Gamma = \partial E$ , и касательный вектор к $\Gamma$ в точке $B$ коллинеарен $r=OA$. Повторяя это для $B$, получим, что касательный вектор к $\Gamma$ в точке $A$ коллинеарен $\rho=OB$. Т.е., ${\dot r}=a \cdot \rho, {\dot \rho} = b \cdot r$ для некоторых скалярных функций $a,b$. Выберем параметризацию кривой так, что $a=1$, тогда ${\ddot r}= br$. Т.о., мы имеем движение в центральном поле сил. При таком движении момент количества движения $M=x{\dot y} - y{\dot x}$ сохраняется (а он и есть удвоенная площадь нашего экстремального тр-ка, т.е., равен 2, что и хотелось). А удвоенная площадь $E$ есть интеграл от $M$, так что площадь $E$ в точности равна периоду движения....
Ну, получилась задача по механике: построить центральное поле сил, чтобы для замкнутой орбиты (с единичным начальным моментом количества движения) период движения был максимальным. Что то об этом, вроде, есть у Арнольда в "Мат. методы кл-й механики"?

[DeBill]

Не, фигня это все: потерялась информация о том, что $\rho(t)$ есть $r(t_1)$ для некоторого $t_1$....

-- 26.08.2022, 14:59 --

Теперь ясно, почему "кометные" орбиты не подходят - вот из-за этого. Кстати, любые эллипсы - не лучше круга, да.

[alcoholist]

DeBill
Я что-то туго соображаю. Начиная с перехода к уравнению второго порядка (без перепараметризации):

$$ \ddot{\mathbf{r}}=\frac{\dot{a}}{a}\dot{\mathbf{r}}+ab\mathbf{r}. $$

Теперь заметим, что

$$ 0=\frac{1}{a}\ddot{\mathbf{r}}\wedge\mathbf{r} -\frac{\dot{a}}{a^2}\dot{\mathbf{r}}\wedge\mathbf{r}=\frac{d}{dt}\frac{\dot{\mathbf{r}}\wedge\mathbf{r}}{a}=\frac{d}{dt}{\boldsymbol{\rho}}\wedge\mathbf{r}. $$

То есть для постоянства площади перепараметризация не нужна. Что-то напоминает овалы постоянной ширины.

-- Пт авг 26, 2022 13:36:37 --

slavav в сообщении #1561873 писал(а):

Пересечение полос выпукло и центрально симметрично.

а как же овалы постоянной ширины?

-- Пт авг 26, 2022 13:42:10 --

ET в сообщении #1561658 писал(а):

Ибо в условии не написано, что для любых различных.

это геометрия, тут глупостей нет, конечно, различных

[slavav]

alcoholist в сообщении #1563543 писал(а):

а как же овалы постоянной ширины?

Они не являются наибольшими по площади решениями. Так как существуют центрально-симметричные фигуры большей площади.

Точно утверждение звучит так: для любой фигуры решающей задачу, найдётся выпуклая центрально-симметричная фигура не меньшей площади, которая тоже решает задачу. В случае, например, треугольника Рело, его можно дополнить до фигуры большей площади.