2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Угловая скорость трехранника Френе
Сообщение05.11.2008, 16:48 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста найти угловую скорость трехгранника Френе. Ничего не могу придумать.
Точка движется по закону \[
x = x\left( t \right),y = y\left( t \right),z = z\left( t \right)
\].

 
 
 
 Re: Угловая скорость трехранника Френе
Сообщение05.11.2008, 17:02 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Помогите пожалуйста найти угловую скорость трехгранника Френе. Ничего не могу придумать.
Точка движется по закону \[
x = x\left( t \right),y = y\left( t \right),z = z\left( t \right)
\].

раскладываем по реперу Френе вектор $a=a_1 v+a_2 n+a_3b$ Предположим, что координаты этого вектора постоянны. Подбираем вектор $\omega$ так, что
$\dot a=[\omega,a]$ Понадобятся формулы Френе. Точкой обозначена производная по натуральному параметру

 
 
 
 
Сообщение05.11.2008, 17:47 
Аватара пользователя
Кажется, получилось.

Необходимое условие \[
\dot a = \left[ {\omega ,a} \right]
\], это \[
\left( {\omega ,\dot a} \right) = 0
\]. Формулы Френе: \[
\left\{ \begin{gathered}
  \frac{{d\tau }}
{{ds}} = k_1 n \hfill \\
  \frac{{dn}}
{{ds}} =  - k_1 \tau  + k_2 b \hfill \\
  \frac{{db}}
{{ds}} =  - k_2 n \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
Раскладываем \[
\omega  = b_1 n + b_2 \tau  + b_3 b
\], из того, что необходимое условие должно выполняться при любых \[
a_1 ,a_2 ,a_3 
\], следует \[
\omega  = b_2 \tau  + b_2 \frac{{k_1 }}
{{k_2 }}b
\]. Подставляя это выражение в самое первое уравнение, получаем окончательную формулу:
\[
\omega  = k_2 \tau  + k_1 b
\].

Спасибо!

Добавлено спустя 14 минут 24 секунды:

И кстати, ответ к этой задаче дан такой:

\[
\overrightarrow \omega   = \left( {\overrightarrow v  \cdot \overrightarrow \tau  } \right)\left( {\overrightarrow \tau  /\kappa  + \overrightarrow b /\rho } \right)
\], где \[
\rho 
\] - радиус кривизны, а \[
\kappa 
\] - радиус кручения траектории. Вопрос: откуда взялось \[
\left( {\overrightarrow v  \cdot \overrightarrow \tau  } \right)
\]?

 
 
 
 
Сообщение05.11.2008, 19:03 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #156143 писал(а):
\[ \omega = k_2 \tau + k_1 b \].

это верный ответ или почти верный я помню его с такой точностью:
$\omega =\pm k_2 \tau \pm k_1 b$

ShMaxG в сообщении #156143 писал(а):
Вопрос: откуда взялось \[ \left( {\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \tau } \right) \]?

а что у Вас такое $\overrightarrow v$? В принципе, разночтения возможны из-за того, что мы с Вами используем натуральный параметр, а в задаче $t$ может и не быть натуральным

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group