2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Наверное, всем с детства известна задачка: "Что больше $e^\pi$ или $\pi^e$". А меня тут заставили сравнить $2^3$ и $3^2$ без этих ваших калькуляторов.
Как и раньше мы берём функцию $y=x^{1/x}$, а проще $y=\dfrac {\ln x}{x}$, дифференцируем и анализируем её. Она определена на $(0,\infty)$, на $(0,1]$ монотонно возрастает от $(-\infty)$ до $0$, на $[1,e]$ монотонно возрастает от $(0)$ до $1/e$ и на $[e,\infty)$ монотонно и положительно убывает от $1/e$ до $0$. То есть имеет максимум в $e$. Понятно, что $e^\pi > \pi^e$, $2021^{2022} > 2022^{2021}$, a $\sqrt 6^{\sqrt 5} > \sqrt 5^{\sqrt 6}$
А вот как быть с $2^3$ и $3^2$?
Ведь $2$ и $3$ лежат по разные стороны от $e$. К счастью, можно без калькулятора посчитать, что $4=2^2$. То есть $\dfrac {\ln 2}{2} = \dfrac {\ln 4}{4}$ и $\forall a\in (2,4): \dfrac {\ln 2}{2} < \dfrac {\ln a}{a}\Longleftrightarrow2^a < a^2$. То есть $2^3 < 3^2$.

Заметим, что $\forall a\in (1,e)\; \exists \;! \;b\in (e,\infty): a^b=b^a$ и надо найти функцию $F (x)}|x\in (1,e):\;F(x)^x=x^{F(x)}|\;x\ne F(x)$. Это позволит легко решать подобные неравенства.

Вотъ

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
gris в сообщении #1561281 писал(а):
К счастью, можно без калькулятора посчитать, что $4=2^2$.
Ой, не уверен. Но если можно — где тогда гарантия, что самые продвинутые не посчитают без калькулятора и $2^3$, и $3^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
ну это, конечно, шутка про безкалькулятора, но ведь можно дать новое определение для числа $e$, что это пересечение всех интервалов
$e=\bigcap\limits_{a >1}(a,b):\;b^a=a^b;\;b\ne a$. Неужели нельзя выразить $b$ через $a$ без помощи спецфункций?
Для случая $a=2$ вольфрамальфа даёт
$ b = -\dfrac{2 W_n\left(-\dfrac{\ln 2}{2}\right)}{\ln 2}; \,n \in \mathbb Z$
И как это понять???

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 15:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
gris в сообщении #1561291 писал(а):
И как это понять???
Если смущает индекс $n$, то он потому, что уравнение решается в $\mathbb{C}$ и нужно нумеровать ветви логарифма.

-- Чт июл 28, 2022 19:52:51 --

gris в сообщении #1561291 писал(а):
Неужели нельзя выразить $b$ через $a$ без помощи спецфункций?
Не получается. Но можно полюбить функцию Ламберта (или хотя бы ее главную ветвь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
gris в сообщении #1561291 писал(а):
Для случая $a=2$ вольфрамальфа даёт
$ b = -\dfrac{2 W_n\left(-\dfrac{\ln 2}{2}\right)}{\ln 2}; \,n \in \mathbb Z$
Для наших целей нужна ветвь функции Ламберта с индексом $n=-1$. Перепишем формулу, выданную Вольфрамом, в виде$$\frac{b\ln 2}2 = -W_{-1}\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)$$
Поскольку $\frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln b}b$, левая часть равна $\ln b$. Тогда$$b=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)\right)$$Здесь на целых две двойки меньше, чем в формуле Вольфрама.

Проверка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Спасибо. Получается, что для $a\in (1,e): \quad b=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln a}{a}\right)\right)$.
Например, $ b(2.478053)=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln 2.478053}{2.478053}\right)\right)=3.0$
И действительно $3^{2.478053} \approx 2.478053^3 \approx 15.21709516$
Но вот $ b(3)=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln3}{3}\right)\right)=3$. А где же меньший корень?
Ну да ладно, попробую разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Для $a\in (e,+\infty)$ надо использовать ветвь $n=0$:
$$b=\exp\left(-W_{0}\left(-\frac{\ln a}{a}\right)\right)$$Пруф.
Из ветвей функции Ламберта две заслуживают особенной любви: $W_{-1}$ и $W_{0}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение28.07.2022, 21:15 
Заблокирован


16/04/18

1129
Есть хорошая книжка про функцию Ламберта, написали физики из Сарова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно- степенное неравенство.
Сообщение29.07.2022, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Спасибо. Дубинов... "W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики." Посмотрел демонстрационные первые странички и оглавление. Мне пока достаточно. Изучаю биографию мсьё Жана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group