Показательно- степенное неравенство.

[gris]

Наверное, всем с детства известна задачка: "Что больше $e^\pi$ или $\pi^e$". А меня тут заставили сравнить $2^3$ и $3^2$ без этих ваших калькуляторов.
Как и раньше мы берём функцию $y=x^{1/x}$, а проще $y=\dfrac {\ln x}{x}$, дифференцируем и анализируем её. Она определена на $(0,\infty)$, на $(0,1]$ монотонно возрастает от $(-\infty)$ до $0$, на $[1,e]$ монотонно возрастает от $(0)$ до $1/e$ и на $[e,\infty)$ монотонно и положительно убывает от $1/e$ до $0$. То есть имеет максимум в $e$. Понятно, что $e^\pi > \pi^e$, $2021^{2022} > 2022^{2021}$, a $\sqrt 6^{\sqrt 5} > \sqrt 5^{\sqrt 6}$
А вот как быть с $2^3$ и $3^2$?
Ведь $2$ и $3$ лежат по разные стороны от $e$. К счастью, можно без калькулятора посчитать, что $4=2^2$. То есть $\dfrac {\ln 2}{2} = \dfrac {\ln 4}{4}$ и $\forall a\in (2,4): \dfrac {\ln 2}{2} < \dfrac {\ln a}{a}\Longleftrightarrow2^a < a^2$. То есть $2^3 < 3^2$.

Заметим, что $\forall a\in (1,e)\; \exists \;! \;b\in (e,\infty): a^b=b^a$ и надо найти функцию $F (x)}|x\in (1,e):\;F(x)^x=x^{F(x)}|\;x\ne F(x)$. Это позволит легко решать подобные неравенства.

Вотъ

[svv]

gris в сообщении #1561281 писал(а):

К счастью, можно без калькулятора посчитать, что $4=2^2$.

Ой, не уверен. Но если можно — где тогда гарантия, что самые продвинутые не посчитают без калькулятора и $2^3$, и $3^2$?

[gris]

ну это, конечно, шутка про безкалькулятора, но ведь можно дать новое определение для числа $e$, что это пересечение всех интервалов
$e=\bigcap\limits_{a >1}(a,b):\;b^a=a^b;\;b\ne a$. Неужели нельзя выразить $b$ через $a$ без помощи спецфункций?
Для случая $a=2$ вольфрамальфа даёт
$ b = -\dfrac{2 W_n\left(-\dfrac{\ln 2}{2}\right)}{\ln 2}; \,n \in \mathbb Z$
И как это понять???

[nnosipov]

gris в сообщении #1561291 писал(а):

И как это понять???

Если смущает индекс $n$, то он потому, что уравнение решается в $\mathbb{C}$ и нужно нумеровать ветви логарифма.

-- Чт июл 28, 2022 19:52:51 --

gris в сообщении #1561291 писал(а):

Неужели нельзя выразить $b$ через $a$ без помощи спецфункций?

Не получается. Но можно полюбить функцию Ламберта (или хотя бы ее главную ветвь).

[svv]

gris в сообщении #1561291 писал(а):

Для случая $a=2$ вольфрамальфа даёт
$ b = -\dfrac{2 W_n\left(-\dfrac{\ln 2}{2}\right)}{\ln 2}; \,n \in \mathbb Z$

Для наших целей нужна ветвь функции Ламберта с индексом $n=-1$. Перепишем формулу, выданную Вольфрамом, в виде

$$\frac{b\ln 2}2 = -W_{-1}\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)$$

Поскольку $\frac{\ln 2}{2}=\frac{\ln b}b$, левая часть равна $\ln b$. Тогда

$$b=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)\right)$$

Здесь на целых две двойки меньше, чем в формуле Вольфрама.

Проверка.

[gris]

Спасибо. Получается, что для $a\in (1,e): \quad b=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln a}{a}\right)\right)$.
Например, $ b(2.478053)=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln 2.478053}{2.478053}\right)\right)=3.0$
И действительно $3^{2.478053} \approx 2.478053^3 \approx 15.21709516$
Но вот $ b(3)=\exp\left(-W_{-1}\left(-\frac{\ln3}{3}\right)\right)=3$. А где же меньший корень?
Ну да ладно, попробую разобраться.

[svv]

Для $a\in (e,+\infty)$ надо использовать ветвь $n=0$:

$$b=\exp\left(-W_{0}\left(-\frac{\ln a}{a}\right)\right)$$

Пруф.
Из ветвей функции Ламберта две заслуживают особенной любви: $W_{-1}$ и $W_{0}$.

[novichok2018]

Есть хорошая книжка про функцию Ламберта, написали физики из Сарова.

[gris]

Спасибо. Дубинов... "W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики." Посмотрел демонстрационные первые странички и оглавление. Мне пока достаточно. Изучаю биографию мсьё Жана.