Пусть

- это
A007814, т.е. максимальная степень двойки, на которую делится

или же число конечных нулей в двоичной записи

(отсюда название функции, поскольку на англ. конечные нули это
trailing zeros).
Пусть

- это
A086784, т.е. число всех остальных нулей в двоичной записи

(от англ.
non-trailing).
Введем бесконечное семейство последовательностей

. Здесь

(для некоторого заданного

) - это последовательность таких чисел

(по возрастанию), для которых выполняется равенство

Отбросим конечные нули в двоичной записи

, а также удалим оставшуюся крайней справа единицу, чтобы получить

:

Тогда

- это беконечное семейство перестановок натуральных чисел.
Для некоторого заданного

заменим каждый ноль в двоичной записи

на

нулей, чтобы получить

.
Докажите, что для любого заранее заданного

последовательность

- возрастающая.
Здесь

- это
A060142. Для любого

последовательность

можно задавать по правилу из названия
A060142, заменяя

на

.