Признак уникальности полупрямого произведения групп

[B@R5uk]

Как известно, полупрямое произведение двух групп

$$G=N\rtimes K$$

определяется действием фактор-группы K на нормальной группе N, которое в свою очередь определяется гомоморфизмом

$$\phi:H\to\operatorname{Aut}\left(N\right)$$

Если гомоморфизм тривиальный (его ядром является вся группа H), то полупрямое произведение вырождается в прямое.

Рассматривая структуры различны групп с рангами до 31 я заметил следующее: в одних случаях разным гомоморфизмам соответствуют разные полупрямые произведения одних и тех же групп, а в других — одинаковые. Вот, например, группа $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ Существует два гомоморфизма

$$\phi:\mathbb{Z}_3\to\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_7\right)=\mathbb{Z}_6$$

Они отличаются только тем, в какой элемент группы $\mathbb{Z}_3$ идёт прямой элемент подгруппы $\mathbb{Z}_3\subset\mathbb{Z}_6$, а какой — в обратный. Эти гомоморфизмы порождают изоморфные группы, которым соответствуют следующие групповые соотношения:

$$\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^7=b^3=e,\;ab=ba^2\;\right\rangle\simeq\left\langle\;a,\;b\;|\;a^7=b^3=e,\;ab=ba^4\;\right\rangle$$

Аналогичный этому есть ещё пример:

$$\mathbb{Z}_{11}\rtimes\mathbb{Z}_5\simeq\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{11}=b^5=e,\;ab=ba^k\;\right\rangle;\quad k\in\left\{\;3,\;4,\;5,\;9\;\right\}$$

Каждая из степеней соответствуют одному из четырёх гомоморфизмов

$$\phi:\mathbb{Z}_5\to\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_{11}\right)=\mathbb{Z}_{10}$$

при этом любой из них отображает фактор-группу в одну и ту же подгруппу, различие только в образах элементов.

А вот пример того, как результаты различаются: семейство групп $\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2$. Имеется три нетривиальных гомоморфизма

$$\phi:\mathbb{Z}_2\to\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_{12}\right)=\mathbb{Z}_2^2$$

Каждый из них соответствует одной из следующих трёх групп:

$$\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{12}=b^2=e,\;ab=ba^5\;\right\rangle=\mathrm{D}_6\times\mathbb{Z}_4$$

$$\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{12}=b^2=e,\;ab=ba^7\;\right\rangle=\mathrm{D}_8\times\mathbb{Z}_3$$

$$\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{12}=b^2=e,\;ab=ba^{11}\;\right\rangle=\mathrm{D}_{24}\quad\;{\color{cyan}.}$$

Казалось бы, вот он признак: гомоморфизм должен действовать в разные подгруппы. Ан нет! Группа $\mathrm{D}_{12}$ сама себе группа автоморфизмов и имеет 7 подгрупп $\mathbb{Z}_2$. Но при этом существует только 2 нетривиальных полупрямых произведения:

$$\mathrm{D}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathrm{D}_{24}$$

$$\mathrm{D}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2=\mathrm{Q}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^6=b^4=\left[a,\;b^2\right]=\left(ab\right)^2=e\;\right\rangle$$

По принципу голубиных гнёзд это означает, что одной и той же группе соответствуют разные гомоморфизмы. (Если быть совсем конкретным, то первая группа получается 6-ю гомоморфизмами, а вторая — единственным гомоморфизмом, отображающим фактор-группу в центр группы автоморфизмов).

В связи во всем этим встаёт вопрос: есть хоть какой-то признак (или набор признаков), позволяющий заранее предсказать, будут ли в результате разных полупрямых произведений получаться изоморфные группы или же различные?

[mihaild]

Очевидно что как минимум если два гомоморфизма отличаются применением автоморфизма слева и справа, то получающиеся полупрямые произведения будут изоморфны.
Скорее всего этого недостаточно, но сходу пример подобрать не могу.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1560451 писал(а):

Очевидно что как минимум если два гомоморфизма отличаются применением автоморфизма слева и справа

Ух! Мне это совсем не очевидно, хотя бы потому, что я не понимаю, как к гомоморфизму применить автоморфизм. Автоморфизм действует из группы в неё же, в том смысле, что его образ и область определения совпадают, но действует на (ака "применяется к") элемент(у) группы. Или вы под "применением автоморфизма к гомоморфизму" имеете в виду последовательное применение гомоморфизмов один за другим к каждому элементу группы? (Как композиция гомоморфизмов порождает новый гомоморфизм, я понимаю.) Если да, то "справа" и "слева" же будут разные автоморфизмы, не? С одной стороны — автоморфизм нормальной подгруппы, с другой — автоморфизм действующий на группе автоморфизмов, поэтому принадлежащий группе автоморфизмов группы автоморфизмов нормальной подгруппы.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1560452 писал(а):

Или вы под "применением автоморфизма к гомоморфизму" имеете в виду последовательное применение гомоморфизмов один за другим к каждому элементу группы?

Нет, композицию.

B@R5uk в сообщении #1560452 писал(а):

Если да, то "справа" и "слева" же будут разные автоморфизмы, не?

Да, слева один, справа другой.

B@R5uk в сообщении #1560452 писал(а):

С одной стороны — автоморфизм нормальной подгруппы, с другой — автоморфизм действующий на группе автоморфизмов, поэтому принадлежащий группе автоморфизмов группы автоморфизмов нормальной подгруппы.

Только подгруппа, автоморфизмы группы автоморфизмов которой мы берем, не обязательно нормальна.

Более подробно так. У нас есть две группы $H$ и $N$. Гомоморфизм $\varphi: N \to \operatorname{Aut}(H)$ задает некоторую группу $G$, являющуюся полупрямым произведением $H$ и $N$.
Рассмотрим теперь автоморфизмы $h: \operatorname{Aut}(H) \to \operatorname{Aut}(H)$ и $n: N \to N$. Тогда $h \circ \varphi \circ n$ - тоже гомоморфизм $\varphi: N \to \operatorname{Aut}(H)$, и задаваемая им группа изоморфна $G$.

[mihaild]

Для бесконечных точно недостаточно.
Рассмотрим $(S_3 \times \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \times S_3 \times \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \times S_3 \times \ldots) \rtimes (\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \ldots)$, где некоторые из $\mathbb Z_2$ справа действуют на некоторые из $\mathbb Z_3$ слева, причем остается бесконечное количество как $\mathbb Z_2$ так и $\mathbb Z_3$. Тогда получившаяся группа будет изоморфна $S_3 \times S_3 \times S_3 \times \ldots \times \mathbb Z_6 \times \mathbb Z_6 \times \ldots$, но в зависимости от того, сколько пар мы "сцепим", получатся разные гомоморфизмы, не переводящиеся друг в друга автоморфизмами.

[B@R5uk]

mihaild, мне кажется, что вы перепутали N и H, в том смысле, что генерирующим гомоморфизмом именно фактор группа отображается в группу автоморфизмов именно нормальной группы результирующего произведения. Но идею я понял, надо будет подумать и покрутить её.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1560451 писал(а):

Очевидно что как минимум если два гомоморфизма отличаются применением автоморфизма слева и справа, то получающиеся полупрямые произведения будут изоморфны.

Если я правильно понял то, что вы предлагаете, то ваше утверждение не верно. Во всяком случае с одной стороны это не работает. Контрпример даже есть в стартовом посте: $\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2$. В группе автоморфизмов

$$\operatorname{Aut}\left(\mathbb{Z}_{12}\right)=\mathbb{Z}_2^2$$

все три подгруппы $\mathbb{Z}_2$ друг другу автоморфны (переводятся друг в друга автоморфизмами), однако, гомоморфизмы в каждую из них дают разные полупрямые произведения. Со стороны фактор-группы, вроде бы, всё хорошо: автоморфизм, изменяющий порождающий гомоморфизм, можно применить к фактор-группе до обсуждаемого гомоморфизма, и это ровным счётом ничего не изменит. По этой причине, когда образ порождающего гомоморфизма фиксирован, то уже не важно, какой элемент фактор-группы отображается в какой элемент образа, как видно на первых двух примерах в первом посте. Хотя это надо бы отдельно строго доказать (особенно для случая всяких сложных фактор-групп).

[mihaild]

Да, тут я наврал. Хотел сказать, что автоморфизмы внутри $N$ и $H$ по отдельности на получившееся произведение не влияют, но автоморфизму $H$ соответствует не любой автоморфизм $\operatorname{Aut}(H)$, а (вроде) только внутренний. Т.е. выше нужно потребовать чтобы $h$ был внутренним (а заодно да, поменять $H$ и $N$ местами).

[B@R5uk]

Я, кстати, замечал на практике, что если порождающие гомоморфизмы отображают фактор-группу в сопряжённые подгруппы, то результирующие полупрямые произведения получаются изоморфными. Сопряжения как раз порождают все внутренние автоморфизмы любой группы, в том числе $\operatorname{Aut}(N)$. Не пойму, правда, как они связаны с автоморфизмами самой нормальной группы. Она ведь даже не обязана быть подгруппой $\operatorname{Aut}(N)$.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1560683 писал(а):

Не пойму, правда, как они связаны с автоморфизмами самой нормальной группы

Так внутренний автоморфизм группы автоморфизмов как раз задается автоморфизмом нормальной группы.

Поскольку я тут уже один раз запутался, попробую доказать. Итак, у нас есть гомоморфизм $\varphi: H \to \operatorname{Aut}(N)$, и некоторый автоморфизм $\alpha$ группы $N$. Докажем, что гомоморфизм $\psi$, определенный по правилу $\psi(h)(n) = \alpha(\varphi(h)(\alpha^{-1}(n)))$ (т.е. $\psi(h) = \alpha \varphi(h) \alpha^{-1}$ - новый автоморфизм получается из старого сопряжением) задает изоморфное полупрямое произведение.
Изоморфизм старого полупрямого произведения в новое $a(n, h) = (\alpha(n), h)$.
Проверим, что это изоморфизм:

$$(n, h) \cdot_{\varphi} (n', h') = (n \cdot \varphi(h)(n'), h h')$$

$$\alpha(n \cdot \varphi(h)(n'), h h') = (\alpha(n) \cdot \alpha(\varphi(h)(n')), h h')$$

$$\alpha(n, h) \cdot_{\psi} \alpha(n', h') = (\alpha(n), h) \cdot_{\psi} (\alpha(n'), h') = (\alpha(n) \cdot \psi(h)(\alpha(n')), h h')$$

Ну и по определению как раз $\alpha(\varphi(h)(n')) = \psi(h)(\alpha(n'))$.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1560722 писал(а):

некоторый автоморфизм $\alpha$ группы $N$

Я так понимаю, в процессе доказательства вы расширяете этот автоморфизм двумя способами. В одном случае — на группу $N\rtimes H$ по формуле

$$\alpha\left(\left\{n,\;h\right\}\right)=\left\{\alpha(n),\;h\right\}$$

Тут довольно прозрачно и понятно. В другом случае — на группу $\operatorname{Aut}\left(N\right)$ в равенстве

$$\psi(h)=\alpha\varphi(h)\alpha^{-1}$$

используя вот это утверждение:

mihaild в сообщении #1560722 писал(а):

Так внутренний автоморфизм группы автоморфизмов как раз задается автоморфизмом нормальной группы.

Которое я совсем не понимаю как работает.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1560768 писал(а):

В одном случае — на группу $N\rtimes H$ по формуле

Только тут это не автоморфизм, а изоморфизм $N \rtimes_\varphi H \to N\rtimes_\psi H$.

B@R5uk в сообщении #1560768 писал(а):

В другом случае — на группу $\operatorname{Aut}\left(N\right)$

Мы имеем $\alpha \in \operatorname{Aut}(N)$. А каждый элемент группы задает автоморфизм этой группы сопряжением с собой.

В итоге вроде бы утверждение выше правильно переписать так:
У нас есть две группы $H$ и $N$. Гомоморфизм $\varphi: H \to \operatorname{Aut}(N)$ задает некоторую группу $G$, являющуюся полупрямым произведением $H$ и $N$.
Рассмотрим теперь автоморфизмы $\alpha: \operatorname{Aut}(N) \to \operatorname{Aut}(N)$ и $\beta: H \to H$, причем $\alpha$ - внутренний. Тогда $\alpha \circ \varphi \circ \beta$ - тоже гомоморфизм $\psi: H \to \operatorname{Aut}(N)$, и задаваемая им группа изоморфна $G$.

[B@R5uk]

mihaild, спасибо, кажется въехал. Хорошо, что экспериментальное наблюдение нашло теоретическое подтверждение. Вот интересно, в каких-нибудь учебниках что-то подобное обсуждается? Или это скорее идёт как задачка со звёздочкой?

[B@R5uk]

Вот интересно, достаточно ли указать ядро гомоморфизма и его образ, чтобы однозначно определить этот гомоморфизм с точностью до автоморфизма образа?

Смысл в том, что я размышляю, как бы всё вышесказанное применить на практике. Вот есть у меня объект "группа", заданный таблицей умножения. И есть ещё один объект того же типа, но, возможно, с другим содержанием. И я хочу построить построить полупрямое произведение. Очевидно, мне придётся почитать третий объект типа "группа", который будет содержать автоморфизмы будущей нормальной подгруппы, и я умею это делать. Затем мне надо будет указать гомоморфизм. На этом у меня затык, по крайней мере для общего случая. У меня есть простенькая процедура, которая берёт группу и индекс автоморфизма этой группы и строит по этим данным полупрямое произведение исходной группы (как нормальной) на циклическую группу, порождаемую указанным процедуре автоморфизмом (и являющуюся подгруппой группы автоморфизмов). Это делается довольно просто, и, естественно, не покрывает общий случай.

Гомоморфизм действует из одной группы в другую, поэтому его ядро, очевидно, является нормальной подгруппой прообраза.

$$\phi:G\to H$$

$$\phi\left(\operatorname{ker}\left(\phi\right)\right)=\{e\}$$

$$h=\phi\left(g\right)$$

$$k_1\in\operatorname{ker}(\phi)$$

$$g*_G k_1=k_2*_G g$$

$$\phi(g*_G k_1)=\phi(g)*_H\phi(k_1)=h*_H e=h=e*_H h=\phi(k_2)*_H\phi(g)=\phi(k_2*_G g)$$

$$e=\phi(k_2)\quad\Rightarrow\quad k_2\in\operatorname{ker}(\phi)$$

$$g\operatorname{ker}(\phi)=\operatorname{ker}(\phi)g\quad\Rightarrow\quad\operatorname{ker}(\phi)\triangleleft G$$

Очевидно, так же, что

$$G/\operatorname{ker}(\phi)\simeq\operatorname{im}(\phi)\subset H$$

И это единственное место, как мне кажется, где возникает неоднозначность в искомом гомоморфизме. Но как выше обсуждалось, на интересующее меня полупрямое произведение это влиять не будет.

Таким образом мне надо научиться строить корректный изоморфизм из фактор-группы в подгруппу (в этом месте будет за одно проверка корректности исходных данных) и это должно позволить восстановить весь гомоморфизм. А вот подгруппы я находить умею (в смысле у меня есть код выполняющий данные действия), в том числе нормальные и фактор-группы.

Я же верно рассуждаю?

[mihaild]

Если у вас есть два гомоморфизма с одинаковым ядром и образом, то да, они отличаются автоморфизмом образа. Потому что любой гомоморфизм - это композиция гомоморфизма в факторгруппу, и изоморфизма факторгруппы в образ. А т.к. ядро одинаковое, то факторгруппа одна и та же, и только изоморфизмы разные, возьмем их композицию - получим автоморфизм образа.
Важно, что это именно автоморфизм образа, он не обязан продолжаться до автоморфизма всей $H$.