Теорема о множестве обобщенных первообразных (Зорич)

[EminentVictorians]

Зорич, стр 420-421 писал(а):

Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие первообразной и принять

Определение 1.Непрерывная на числовом промежутке функция $x \to \mathcal{F}(x)$ называется первообразной (обобщенной первообразной) функции $x \to f(x)$, определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа, имеет место соотношение $\mathcal{F}'(x) = f(x)$.
Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива следующая

Теорема 1'. Каждая определенная и ограниченная на отрезке $[a, b]$ функция $f: [a,b] \to \mathbb R$ с конечным множеством точек разрыва имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая первообразная функции $f$ на $[a,b]$ имеет вид (4) (т.е. вид $\mathcal{F}(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt +c,$где $c$ - некоторая постоянная. - примечание мое)

$\blacktriangleright$Поскольку $f$ имеет конечное множество точек разрыва, то $f \in R[a,b]$ и по лемме 1 функция (1) (т.е. функция $F(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt$ - примечание мое) является обобщенной первообразной для $f$ на $[a,b]$. При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2) функция (1) непрерывна на $[a, b]$. Если $\mathcal{F}(x)$ - другая первообразная функции $f$ на $[a, b]$, то $\mathcal{F}(x) - F(x)$ - непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции $f$ разбивают отрезок $[a, b]$. Из непрерывности $\mathcal{F}(x) - F(x)$ на $[a, b]$ тогда следует, что $\mathcal{F}(x) - F(x) \equiv \operatorname{const}$ на $[a, b]$. $\blacktriangleleft$

Я согласен, что интеграл с переменным верхним пределом является обобщенной первообразной для $f$. Я не согласен с той, частью доказательства, где доказывается, что все обобщенные первообразные имеют вид $\mathcal{F}(x) = \int\limits_{a}^{x}f(t)dt +c,$где $c$ - некоторая постоянная. А именно, меня смущает вот эта строчка:

Цитата:

Если $\mathcal{F}(x)$ - другая первообразная функции $f$ на $[a, b]$, то $\mathcal{F}(x) - F(x)$ - непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции $f$ разбивают отрезок $[a, b]$.

Для функции $\mathcal{F}(x)$ будет, по определению, выполняться равенство $\mathcal{F}'(x) = f(x)$ для всех точек отрезка $[a, b]$ кроме, быть может, конечного их числа. Но кто сказал, что это конечное множество "плохих" точек, в которых данное равенство может нарушаться, должно совпадать с точками разрыва функции $f$? Это ниоткуда из определения обобщенной первообразной не следует - там просто требование конечности числа "плохих" точек. Зорич делает моментально логический переход, что функция $\mathcal{F}(x) - F(x)$ будет постоянна на каждом отрезке с концами - точками разрыва функции $f$. Но такой логический переход делать на мой взгляд нельзя. Когда можно гарантировать постоянство какой-то функции? Например, когда выполняются такие 3 условия:
1) Она определена на связном подмножестве $\mathbb R$
2) Она всюду дифференцируема на этом подмножестве
3) Ее производная всюду равна нулю на этом подмножестве
(пункты 2 и 3 можно косметически ослабить и требовать непрерывность везде + дифференцируемость и равенство нулю производной во всех внутренних точках нашего линейно связного промежутка)
Но в данном то случае производная функции $\mathcal{F}(x) - F(x)$ не факт, что равна нулю в любой точке на любом из рассматриваемых выше подотрезков (с концами - точками разрыва функции $f$). Вдруг множества "плохих" точек $\mathcal{F}(x)$ и $F(x)$ не совпадают - такой сценарий тоже может быть в теории. Тогда пункт 3, даже в его более слабой форме, выполняться не будет.


Как бы доказывал это место я:
Рассмотрим множество $M_1$ - множество "плохих" точек функции $\mathcal{F}(x)$ и множество $M_2$ - множество "плохих" точек $F(x)$. Положим $M = M_1 \cup M_2$. Множество $M$ конечное и разбивает отрезок $[a, b]$ на подотрезки. Берем произвольный подотрезок и рассматриваем на нем функцию $\mathcal{F}(x) - F(x)$. Она на нем непрерывна, во всех внутренних точках дифференцируема и ее производная во всех внутренних точках равна нулю, следовательно $\mathcal{F}(x) - F(x)$ является константой на этом подотрезке. Раз выбирали подотрезок произвольно, следовательно $\mathcal{F}(x) - F(x)$ является константой на всех подотрезках. В сумме с ее непрерывностью на $[a, b]$ получаем, что она всюду константа на $[a, b]$, чтд.

Есть еще проблема в том, что у Зорича вот этой более слабой версии пунктов 1-3 (которую я написал ниже в скобках) вроде бы и не было. Т.е. по хорошему доказательство должно бы быть еще более подробное. Но это уже придирка действительно по мелочам. А вот разные множества "плохих" точек у $\mathcal{F}(x)$ и $F(x)$ я думаю стоит рассматривать.

Хотел бы узнать, действительно ли здесь есть косяк.

[mihaild]

Да, рассуждение у Зорича неполное, а ваше правильное.
Как альтернативный вариант - можно доказать, что любая обобщенная первообразная дифференцируема в точках непрерывности $f$, причем производная равна значению в этой точке.

[EminentVictorians]

mihaild, благодарю за помощь.