Несколько заданий по математическому анализу (основы)

[GAA]

Опоздал. Теперь просто сократить $y$ и проверить, что неопределенности нет.

[mkot]

int13 писал(а):

Ну да ладно:
Получилось вот что, (если я правильно понял):

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{2y} \over {\cos ^2 \left( {y + {\pi \over 4}} \right)}}} \over {\left( {y\sqrt 2 } \right)\sin \left( {{y \over 2} + {\pi \over 4}} \right)}} $$

Скорее всего опечатка: $y \to 0$, а не $x \to 0$.

[905189]

Загляни сюда: ссылка удалена Там много чего есть интересного в двух, трех вариантах. Правда авторы пишут , что работают с Opera 9.27.

PAV:

Пользователи 905189 и 516567 заблокированы за рекламу и двойную регистрацию

[int13]

Здраствуйте. Я снова с вами.
Во втором примере, после некоторых преобразований получил, что выражение стремится к

$$4$$

. Надеюсь так оно и есть.
Благодарю за помощь, кажется базовые навыки теперь у меня более менее есть.
Теперь хотелось бы разобраться с остальными заданиями...

Добавлено спустя 13 минут 59 секунд:

Мои наброски решения третьего задания, кажется, не поддаются никакой логике.

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a^{x + 1} + b^{x + 1} } \over {a + b}}} \right)^{{1 \over x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a + b} \over {a^{x + 1} + b^{x + 1} }}} \right)^x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a + b} \over {a^x a + b^x b}}} \right)^x $$

Далее при x => 0,

$$a^x, b^x$$

стремятся к одному? Поэтому...

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a + b} \over {a^x a + b^x b}}} \right)^x = \left( {{{a + b} \over {a + b}}} \right)^x = 1^x = 1 $$

Слишком легко для правильного решения

[mkot]

Цитата:

Мои наброски решения третьего задания, кажется, не поддаются никакой логике.

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a^{x + 1} + b^{x + 1} } \over {a + b}}} \right)^{{1 \over x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a + b} \over {a^{x + 1} + b^{x + 1} }}} \right)^x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a + b} \over {a^x a + b^x b}}} \right)^x $$

Далее при x => 0,

$$a^x, b^x$$

стремятся к одному? Поэтому...

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{a + b} \over {a^x a + b^x b}}} \right)^x = \left( {{{a + b} \over {a + b}}} \right)^x = 1^x = 1 $$

Слишком легко для правильного решения Confused

Ошибка в первом равенстве

$$ \left( {{{a^{x + 1} + b^{x + 1} } \over {a + b}}} \right)^{{1 \over x}} = \left( {{{a + b} \over {a^{x + 1} + b^{x + 1} }}} \right)^{-\frac{1}{x}}.$$

Тут необходимо применить второй замечательный предел в различных модификациях.
Для начала примените метод Тараса Бульбы, чтобы увидеть что-то похожее на запись второго
замечательного

$$ \left( {{{a^{x + 1} + b^{x + 1} } \over {a + b}}} \right)^{{1 \over x}} = \left( 1 - 1 + {{{a^{x + 1} + b^{x + 1} } \over {a + b}}} \right)^{{1 \over x}}$$

.

[PAV]

Забавно, Вы считаете, что $4^{1/2}=(\frac14)^2$ ?

[int13]

Четвертое..
Т.к котангенс 45 градусов равен 1-ому... Получаем...
Неопределенности тут нет, получаем 0 деленное на какое-то число (в нашем случае логарифм единицы) т.е 0

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 4}} \left( {{{1 - ctg\pi x} \over {\ln ctg\pi x}}} \right) = {{1 - 1} \over {\ln 1}} = 0 $$

Сомневаюсь, что правильно... Это все, на что меня хватило )

[mkot]

$\ln 1 = 0$.

[int13]

Что-то с интернетом моим стало... Подключается с горем пополам, на секунд 30... Только успеваю отправить пост на форум и сразу отрубает. Даже погуглить ничего не могу...
А можно узнать, во втором ответ-то правильный получился?

[mkot]

4 -- это правильный ответ

[int13]

PAV писал(а):

Забавно, Вы считаете, что $4^{1/2}=(\frac14)^2$

mkot писал(а):

$\ln 1 = 0$

Тупость меня погубит

[int13]

Прочитал еще раз всю теорию о пределах последовательности, но это мне не помогло. Вот такой вопрос:

$$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{n^2 + 1} \over {2n + 1}} - {{3n^2 + 1} \over {6n + 1}}} \right) $$

Предел такой последовательности стремится к нулю? Можно ли об этом сказать, повыносив за скобки старшие степени, и если это так, то как правильно обьяснить?

[citadeldimon]

int13 писал(а):

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{n^2 + 1} \over {2n + 1}} - {{3n^2 + 1} \over {6n + 1}}} \right) $$

Предел такой последовательности стремится к нулю? Можно ли об этом сказать, повыносив за скобки старшие степени, и если это так, то как правильно обьяснить?

Проверьте правильность задачи!

[int13]

Исправил

[ewert]

int13 в сообщении #156034 писал(а):

Предел такой последовательности стремится к нулю? Можно ли об этом сказать, повыносив за скобки старшие степени,

Нельзя, тем паче что он и не ноль. Логически проще всего тупо привести к общему знаменателю -- и уж потом будет корректным учёт вверху и внизу только главных степеней.

А почему нельзя, кстати? (это довольно принципиально.) А потому, что говоря "ноль", Вы имеете в виду, что главные члены первого и второго слагаемого сокращыются, и это правда. Беда, однако, в том, что эти главные члены бесконечны, поэтому поправочные к ним вовсе не обязаны быть (и не будут) нулевыми. Вы же возможную информацию о поправках пытаетесь гордо игнорировать.