предел функции (без Лопиталя и Тейлора)

[ewert]

Я бы схему Cave поддержал, но с одной оговоркой: она несколько "не тем концом и не в то место вставлена" (как цитировал академик Крылов одного адмирала).

На мой взгляд, разумная последовательность выглядит примерно так. Сперва, действительно, доказывается непрерывность и монотонность произвольной показательной функции на рациональных числах. Это даёт возможность доопределить её на все вещественные. Собственно, это -- стандарт, и не очень понятно, как его можно в принципе разумным образом обойти.

Далее надо попытаться доказать дифференцируемость показательной функции (очевидно, достаточно проверять это в нуле). Непрерывность функции ${a^x-1\over x}$ у нас уже есть, и легко проверяется монотонность на рациональных числах -- а значит, и монотонность вообще. Т.е. производная существует; правда, она могла бы оказаться бесконечной, но! если она конечна хоть для одного основания, то конечна и для любого другого.

Вот теперь можно переходить и к экспоненте. Определяем как обычно $e\equiv\lim(1+{1\over n})^n$ и стандартно доказываем существование и конечность этого предела. После чего $\exp'(0)=\lim{e^x-1\over x}=1$ -- это уже вопрос элементарного пересчёта.

Да, занудно, но неизбежно. Может, с интегралами и поэлегантнее вышло б, да только вот беда: потребность в экспоненте возникает задолго до них и уж тем более до дифуров. Дорога ложка к обеду. Так что если времени жаль, то честнее будет просто обойтись размахиванием руками -- всё равно все к показательным функциям привычны. Тем более, что с синусами ещё хуже: ну скажите, кто из школьников (соотв., первокурсников) знает точное определение длины кривой?...