Признак прямого произведения групп

[B@R5uk]

У меня есть подозрение, что если A и B — подгруппы группы G, причём выполняется

$$G=A\rtimes B=B\rtimes A$$

то тогда

$$G=A\times B$$

Верно ли это? Если да, то как это доказать?

-- 06.07.2022, 23:41 --

Надо показать, что элементы этих подгрупп коммутируют. По определению нормальности имеем

$$a^{-1}ba=b',\quad b'^{-1}ab'=a'$$

$$ab'=ba=b'a'$$

$$a'a^{-1}=b'^{-1}b$$

Элементы слева и справа от равенства принадлежат подгруппам A и B, соответственно. Но пересечение этих подгрупп тривиально, поэтому это равенство возможно только тогда, когда обе его стороны равны тривиальному элементу. Но это означает, что

$$a'=a,\quad b'=b$$

$$ab=ba$$

Что и требовалось доказать. Вообще, если так подумать на заметку, то элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением взаимно коммутируют. Даже не обязательно, чтобы сами подгруппы были абелевыми. Забавно.

-- 06.07.2022, 23:47 --

ОК. Пусть теперь $A\simeq A'$ и $B\simeq B'$ — подгруппы группы G, причём выполняется

$$G=A\rtimes B=B'\rtimes A'$$

Будет ли такой признак работать или же надо что-то ещё потребовать?

[mihaild]

В смысле чтобы произведение в последнем случае тоже было прямым? Попробуйте вообще взять $A \simeq B$ и построить контрпример.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1559594 писал(а):

Попробуйте вообще взять $A \simeq B$ и построить контрпример.

Вы имеете в виду когда

$$A=B',\quad B=A'$$

и имеет место только одно полупрямое произведение? Ну, это досадное исключение, всё-таки интереснее рассматривать случай рассматриваемые подгруппы не изоморфны друг другу.

$$A\not\simeq B$$

[B@R5uk]

Ладно, вот практически интересный случай. Пусть существует один или оба автоморфизма

$$\varphi,\;\psi\in\operatorname{Aut}\left(G\right)\;:\;\varphi\left(A\right)=A',\;\psi\left(B\right)=B'$$

Причём выполнено

$$G=A\rtimes B=B'\rtimes A'$$

Тогда группа G представима в виде прямого произведения.

Доказательство. Поскольку существует хотя бы один автоморфизм, хотя бы в одном из косых произведений выше обе подгруппы нормальные (все свойства подгрупп, лежащих в одном классе эквивалентности относительно автоморфизмов, совпадают точь-в-точь). Имеем: две нормальные подгруппы с тривиальным пересечением. Как показано выше их элементы будут взаимно коммутировать. Это означает, что хотя бы одно из полупрямых произведений на самом деле является прямым произведением.

В самом общем случае, когда в каждой паре $A\simeq A'$ и $B\simeq B'$ изоморфные подгруппы лежат в разных классах "автоморфности" (и их нельзя выбрать по-другому), скорее всего такое не сработает. Было бы очень интересно указать конкретный пример такой группы.

(Оффтоп)

А то я смотрю на распечатку:

Используется синтаксис Text

Group statistic:
-   Name     Unknown
-   Abelian       No
-   Rank           3
-   Order         24
-   Automor.     144
-   Elements:
    =   order      1   2   3   6
    =   number     1  15   2   6

List of subgroups:
                                                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
   0   0   1  ANZC   -   -   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    I
   1   1   2  ANZ-   -   3   + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z2
   2   1   2  ANZ-   -   3   + - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z2
   3   1   2  ANZ-   -   3   + - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - -    Z2
   4   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - -    Z2
   5   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - -    Z2
   6   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - -    Z2
   7   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - -    Z2
   8   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - -    Z2
   9   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - -    Z2
  10   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - -    Z2
  11   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - -    Z2
  12   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - -    Z2
  13   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - -    Z2
  14   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + -    Z2
  15   1   2  A---   -   1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +    Z2
  16   1   3  AN-C   -   -   + - - - + - - - + - - - - - - - - - - - - - - -    Z3
  17   2   4  ANZC   -   -   + + - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - -    K4
  18   2   4  A---   -   4   + + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - -    K4
  19   2   4  A---   -   4   + + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - -    K4
  20   2   4  A---   -   4   + + - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - -    K4
  21   2   4  A---   -   4   + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - -    K4
  22   2   4  A---   -   4   + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - -    K4
  23   2   4  A---   -   4   + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +    K4
  24   2   4  A---   -   4   + - - - - - + - - - - - + - - - - - + - - - - -    K4
  25   2   4  A---   -   4   + - - - - - + - - - - - - + - - - - - + - - - -    K4
  26   2   4  A---   -   4   + - - - - - + - - - - - - - + - - - - - + - - -    K4
  27   2   4  A---   -   4   + - - - - - + - - - - - - - - + - - - - - + - -    K4
  28   2   4  A---   -   4   + - - - - - + - - - - - - - - - + - - - - - + -    K4
  29   2   4  A---   -   4   + - - - - - + - - - - - - - - - - + - - - - - +    K4
  30   2   4  A---   -   4   + - - - - - - + - - - - + - - - - - - + - - - -    K4
  31   2   4  A---   -   4   + - - - - - - + - - - - - + - - - - + - - - - -    K4
  32   2   4  A---   -   4   + - - - - - - + - - - - - - + - - - - - - + - -    K4
  33   2   4  A---   -   4   + - - - - - - + - - - - - - - + - - - - + - - -    K4
  34   2   4  A---   -   4   + - - - - - - + - - - - - - - - + - - - - - - +    K4
  35   2   4  A---   -   4   + - - - - - - + - - - - - - - - - + - - - - + -    K4
  36   1   6  AN--   -   2   + + - - + + - - + + - - - - - - - - - - - - - -    Z6
  37   1   6  AN--   -   2   + - + - + - + - + - + - - - - - - - - - - - - -    Z6
  38   1   6  AN--   -   2   + - - + + - - + + - - + - - - - - - - - - - - -    Z6
  39   2   6  -N--   -   6   + - - - + - - - + - - - + - - - + - - - + - - -    D6
  40   2   6  -N--   -   6   + - - - + - - - + - - - - + - - - + - - - + - -    D6
  41   2   6  -N--   -   6   + - - - + - - - + - - - - - + - - - + - - - + -    D6
  42   2   6  -N--   -   6   + - - - + - - - + - - - - - - + - - - + - - - +    D6
  43   3   8  A---   -   7   + + - - - - + + - - - - + + - - - - + + - - - -    Z2^3
  44   3   8  A---   -   7   + + - - - - + + - - - - - - + + - - - - + + - -    Z2^3
  45   3   8  A---   -   7   + + - - - - + + - - - - - - - - + + - - - - + +    Z2^3
  46   2  12  AN-C   -   -   + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - -    Z6 x Z2
  47   2  12  -N--   -   5   + + - - + + - - + + - - + + - - + + - - + + - -    D12
  48   2  12  -N--   -   5   + + - - + + - - + + - - - - + + - - + + - - + +    D12
  49   2  12  -N--   -   5   + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + -    D12
  50   2  12  -N--   -   5   + - + - + - + - + - + - - + - + - + - + - + - +    D12
  51   2  12  -N--   -   5   + - - + + - - + + - - + + - - + + - - + + - - +    D12
  52   2  12  -N--   -   5   + - - + + - - + + - - + - + + - - + + - - + + -    D12
  53   3  24  -N-C   -   -   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +    


List of nornal subgroups and corresponding factor groups:
Indx Rnk Ord Abl   Normal name      Factor name Spt Rnk Ord Abl Indx
   1   1   2   +            Z2  ->  D12           +   2  12   -   49
  16   1   3   +            Z3  ->  Z2^3          +   3   8   +   43
  17   2   4   +            K4  ->  D6            +   2   6   -   39
  36   1   6   +            Z6  ->  K4            +   2   4   +   24
  39   2   6   -            D6  ->  K4            +   2   4   +   17
  46   2  12   +       Z6 x Z2  ->  Z2            +   1   2   +    4
  47   2  12   -           D12  ->  Z2            +   1   2   +    2
 

И думаю: "Что же здесь такое происходит?" А происходит, оказывается вот что:

$$G=D_{12}\times\mathbb{Z}_2=D_6\times K_4=\mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_2^3=\mathbb{Z}_6\rtimes K_4=\left(\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2\right)\rtimes\mathbb{Z}_2$$

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1559597 писал(а):

Ну, это досадное исключение, всё-таки интереснее рассматривать случай рассматриваемые подгруппы не изоморфны друг другу.

Это ничего не меняет.
Возьмем $A$ - любую группу, у которой есть нетривиальный гомоморфизм в собственную группу изоморфизмов, $C$ - произвольную нетривиальную группу. Возьмем $B = A \times D$.

B@R5uk в сообщении #1559608 писал(а):

косых произведений

Это где такая терминология? Обычно его называют полупрямым.

B@R5uk в сообщении #1559608 писал(а):

Имеем: две нормальные подгруппы с тривиальным пересечением.

А почему пересечение-то тривиально? Более того, из любого примера можно сделать пример с нетривиальным пересечением: домножьте группу прямо на $\mathbb Z_n$, и запихните этот множитель в $A$ и $A'$.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1559612 писал(а):

А почему пересечение-то тривиально?

Из постановки задачи: вся группа представима в виде полупрямого произведения. Естественно, подгруппы в этом произведении имеют тривиальное пересечение. Дальше надо показать, что фактор-группа является нормальной подгруппой, но это обеспечивается автоморфизмом.

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1559612 писал(а):

Это где такая терминология?

Нигде. Это меня постоянно клинит на паре антонимов прямой-косой/кривой.

mihaild в сообщении #1559612 писал(а):

Более того, из любого примера можно сделать пример с нетривиальным пересечением

Ну, конкретный контрпример будет самым наглядным опровержением.

[mihaild]

"Представима в виде прямого произведения" - конкретно $A$ и $B$, или вообще какого угодно?
Если конкретно $A$ и $B$, то возьмем $G = (C \rtimes D) \times (C' \rtimes D') \times E$, где $C \simeq C'$, $D \simeq D'$, полупрямые произведения одинаковые и нетривиальные. И пусть $A = C \times D' \times E$, $B = D \times C'$.

B@R5uk в сообщении #1559621 писал(а):

Из постановки задачи: вся группа представима в виде полупрямого произведения. Естественно, подгруппы в этом произведении имеют тривиальное пересечение

А, я почему-то думал, что речь о пересечении $A$ и $A'$.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1559706 писал(а):

конкретно $A$ и $B$, или вообще какого угодно?

Либо эта пара, либо штрихованная, в зависимости от того, где автоморфизм нормальную фактор-группу указал.

А вообще, признак лучше переделать так: если для нормальной подгруппы N группы G существует нормальная подгруппа H, изоморфная $G/N$ и имеющая с N тривиальное пересечение, то $G=N\times H$. Легко проверяется в лоб (в смысле факт наличия такой подгруппы в группе). Автоморфизмы и пары изоморфных подгрупп — это слишком обходной путь, который наклюнулся из-за того, каков вид лога, выдаваемого мне моей программой.

[mihaild]

Для конечных да (и даже нормальности $H$ требовать не надо, достаточно чтобы она коммутировала с $N$, нормальность получится автоматически).
Для бесконечных нет. Возьмем $G = \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_2 \times \ldots$, $N = \mathbb Z_2 \times \mathbb {e} \times \mathbb Z_2 \times \ldots$. Тогда $G / N = \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \ldots$, и если взять $H = \{e\} \times \mathbb Z_2 \times \{e\} \times \mathbb Z_2 \times \ldots$, то $H \cap N = \{e\}$, но $G \neq N \times H$ (потому что справа у всех элементов порядок $2$).

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1559712 писал(а):

и даже нормальности $H$ требовать не надо

Нормальность — это "глобальное" свойство подгруппы в группе, технически его проверять легче (посмотреть на заранее посчитанный флаг).

-- 08.07.2022, 00:25 --

mihaild в сообщении #1559712 писал(а):

Для бесконечных нет.

Да, вместо $H\simeq G/N$ и $H\cap N=\{\;e\;\}$, надо было написать, что $G=N\rtimes H$ (как я до этого писал). Тогда и в бесконечном случае будет работать, и конечном случае по сути ничего не изменится.