Дифференцируемость и сущ. производных у функции неск. перем.

[KirBirMir]

Всем привет!
Помогите, пожалуйста, как-то на пальцах (на низком уровне, на уровне интуиции, если угодно) понять чем отличается дифференцируемость функции одной переменной от дифференцируемости функции нескольких переменных
Если у нас ФОП, то дифференцируемость - это существование дифференциала, т.е. такого линейного отображения, которое очень хорошо приближает нашу функцию. Производная - это предел к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, или скорость роста функции. Когда у нас ФОП, то функция может расти только в одном направлении, соответственно у производной направление тоже только одно.
Если у нас ФНП, то дифференцируемость - это тоже существование дифференциала, т.е. тоже существование линейного отображения, которое очень хорошо линейно приближает нашу функцию. Только отображение сейчас уже представлено не числом, а матрицей (1хn), т.к. действует на вектор из n переменных, который переводится из Rn в R1. Когда у нас ФНП, то функция в разных направлениях может уже расти с разной скоростью и у нас получаются частные производные или производная по направлению.
Это я так примерно понимаю данную тему.

Теперь вопрос: почему в случае ФОП дифференцируемость эквивалентна существованию производной, а во втором - нет. Вроде как у ФНП могут существовать все частные производные в точке, но она при этом не дифференцируема. Как представить себе такое?

[Arks]

KirBirMir
Ну например, что функция локально может не иметь вид плоскости (а это дифференцируемость), а прямые по некоторым направлениям можно провести.

[svv]

Пусть у функции $f(x,y)$ в точке $(0,0)$ существуют производные $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$. Перейдём к новым переменным $u,v\!:\; x=2u-v,\; y=3u+8v$.
Найдём $\frac{\partial f}{\partial u}$ в той же точке:
$\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=2\frac{\partial f}{\partial x}+3\frac{\partial f}{\partial y}$

Вопрос: точно всё в порядке?
Ответ. Если функция дифференцируема в начале координат, то да. В противном случае производная $\frac{\partial f}{\partial u}$ может отличаться от вычисленной по этой формуле и даже не существовать.

[Arks]

Для одномерного случая я бы привел аналогию, что могут существовать односторонние производные, а дифференцируемости нет (т.е. две полупрямые не объединяются в прямую), а в многомерном случае две прямые могут не объединиться в плоскость

[klonovod_3000]

KirBirMir в сообщении #1559674 писал(а):

Как представить себе такое?

Наш Учитель любил такой пример: возьмём функцию двух переменных $f(x,y)$, которая на параболе $y=x^2$, $(x,y) \neq (0,0)$ равна $1$, а во всех остальных точках равна $0$. Легко проверить, что в нуле есть производная по любому направлению, но $f$ в нуле не то что недифференцируема, а вообще разрывна.

[Arks]

klonovod_3000
Какой ужасный пример

[Otta]

Нормальный пример. Цели у профессора klonovod_3000 были более далеко идущими: не просто показать, что из дифференцируемости по Гато (существования производных по каждому направлению) не следует дифф-сть по Фреше (обычная дифф-сть в точке). Поэтому это обоснование более сильного утверждения.

ТС так много не нужно, ему достаточно двух направлений: вдоль осей.

[Arks]

Otta в сообщении #1559695 писал(а):

Цели у профессора klonovod_3000

Вы знакомы?

Otta в сообщении #1559695 писал(а):

Поэтому это обоснование более сильного утверждения

Соглашусь, но это уже продвинутый уровень, начинающим надо попроще

[Otta]

Arks в сообщении #1559697 писал(а):

Вы знакомы?

Вполне возможно. Наш мир тесен.
Но с какой целью и когда приводится этот пример - я знакома точно.

-- 08.07.2022, 01:22 --

Arks в сообщении #1559681 писал(а):

Для одномерного случая я бы привел аналогию, что могут существовать односторонние производные,

Это не имеет никакого касательства к существованию (частных) производных, в одномерном случае это то же, что и производная обычная.

Arks в сообщении #1559679 писал(а):

что функция локально может не иметь вид плоскости (а это дифференцируемость),

Функция локально никакого вида не имеет, как и глобально. Вид иметь может только график функции, и то не всегда.

Arks в сообщении #1559681 писал(а):

а в многомерном случае две прямые могут не объединиться в плоскость

Это вообще что-то мистическое.

Самое простое - задать функцию двух переменных $f(x,y)=\begin{cases}1,&\text{если } xy=0$;\\0,&\text{иначе}\end{cases}$
Частные производные в нуле есть, обе нулевые, а функция, опять же, не только не дифференцируема в нуле, но и разрывна там.