Ортогональность системы функций

[Nurgali]

Здравствуйте!

Пусть $\{\varphi_n(x)\}$, $n=0,1,2,...$ - ортогональная и полная система функций в $L_2[a,b]$, а $\{\varphi_n(x)\alpha(x)\}$, $n=0,1,2,...$ - ортогональная система функций в $L_2[a,b]$. Доказать, что данная система является полной.

Доказательство. Предположим, что $\{\varphi_n(x)\alpha(x)\}$, $n=0,1,2,...$ неполная система функций, т.е. существует ненулевая функция $\beta(x)$, ортогональная всем функциям данной системы

$$ \int\limits_a^b \varphi_n(x)\alpha(x)\beta(x)dx. $$

Т.к. $\{\varphi_n(x)\}$, $n=0,1,2,...$ полная система, то $\alpha(x)\beta(x)\equiv0$. Следовательно, $\beta(x)\equiv0$, т.е. $\{\varphi_n(x)\alpha(x)\}$, $n=0,1,2,...$ является полной системой функций.

Верно ли доказательство?

[Nurgali]

Здесь $\{\varphi_n(x)\}$, $n=0,1,2,...$ - ортогональная система с весом $\rho (x)$, а $\{\varphi_n(x)\alpha(x)\}$, $n=0,1,2,...$ - ортогональная система с весом $\mu(x)$, где $\alpha^2(x)\mu(x)=\rho (x)$.

[svv]

Nurgali в сообщении #1559381 писал(а):

$\alpha(x)\beta(x)\equiv 0$. Следовательно, $\beta(x)\equiv0$

Это неверно: возможен случай, когда каждая из функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ не равна тождественно нулю, а их произведение — тождественный нуль.

Я не знаю, справедливо ли исходное утверждение без дополнительных условий на функцию $\alpha(x)$.

Есть такие специальные функции — сфероидальные, они обладают замечательным свойством — двойной ортогональностью. Они образуют систему, ортогональную на $\mathbb R$, в то же время они ортогональны на отрезке $[-1,1]$.

(Оффтоп)

Я не могу прямо взять эти функции в качестве контрпримера, потому что они не полностью соответствуют условиям задачи. Но раз системы с двойной ортогональностью существуют, нельзя (без дополнительных рассуждений) исключить следующую ситуацию.

Пусть система $\{\varphi_n(x)\}$, ортогональная и полная в $L_2[a,b]$, является в то же время ортогональной на отрезке $[c,d]$, где $a<c<d<b$. Возьмём $\alpha(x) =\mathbf I_{[c,d]}(x)$ (индикатор).
Тогда система $\{\varphi_n(x)\alpha(x)\}$ будет ортогональной, но не полной в $L_2[a,b]$. Потому что каждой функции системы ортогональна функция $\beta(x)=\mathbf I_{[a,b]\setminus[c,d]}(x)$.

[Ёж]

svv в сообщении #1559487 писал(а):

Nurgali в сообщении #1559381 писал(а):

$\alpha(x)\beta(x)\equiv 0$. Следовательно, $\beta(x)\equiv0$

Это неверно: возможен случай, когда каждая из функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ не равна тождественно нулю, а их произведение — тождественный нуль.

Я не знаю, справедливо ли исходное утверждение без дополнительных условий на функцию $\alpha(x)$.

Есть такие специальные функции — сфероидальные, они обладают замечательным свойством — двойной ортогональностью. Они образуют систему, ортогональную на $\mathbb R$, в то же время они ортогональны на отрезке $[-1,1]$.

(Оффтоп)

Я не могу прямо взять эти функции в качестве контрпримера, потому что они не полностью соответствуют условиям задачи. Но раз системы с двойной ортогональностью существуют, нельзя (без дополнительных рассуждений) исключить следующую ситуацию.

Пусть система $\{\varphi_n(x)\}$, ортогональная и полная в $L_2[a,b]$, является в то же время ортогональной на отрезке $[c,d]$, где $a<c<d<b$. Возьмём $\alpha(x) =\mathbf I_{[c,d]}(x)$ (индикатор).
Тогда система $\{\varphi_n(x)\alpha(x)\}$ будет ортогональной, но не полной в $L_2[a,b]$. Потому что каждой функции системы ортогональна функция $\beta(x)=\mathbf I_{[a,b]\setminus[c,d]}(x)$.

Спасибо большое!
Т.е. в частном случае, например, для $\alpha(x)=\sqrt[3]{x}$ рассуждения будут верными?

[svv]

Nurgali
Моя позиция: возможно, исходное утверждение и верно, а описанная мной ситуация невозможна. Но чтобы это доказать, требуются более аккуратные рассуждения: из $\alpha(x)\beta(x)\equiv 0$ не следует $\beta(x)\equiv 0$.
Я просто описал гипотетическую, но правдоподобную ситуацию, которую и надо исключить более аккуратным доказательством (если оно существует, конечно).

Ёж в сообщении #1559504 писал(а):

Т.е. в частном случае, например, для $\alpha(x)=\sqrt[3]{x}$ рассуждения будут верными?

Да, к такой функции у меня бы претензий не было.

[Nurgali]

Ёж в сообщении #1559504 писал(а):

Спасибо большое!
Т.е. в частном случае, например, для $\alpha(x)=\sqrt[3]{x}$ рассуждения будут верными?

Спасибо за пример

svv

Спасибо за ценные комментарии!