Три натуральных числа

[nnosipov]

$m$, $n$ и $k$ таковы, что

$$k=\frac{(m+3)^n+1}{3m}.$$

Докажите, что $k$ нечетно.

[mathematician123]

Если $m$ нечётное, то числитель дроби нечётен. Если $m \equiv 2 \pmod{4}$, то числитель и знаменатель $\equiv 2 \pmod{4}$. Случай $8 \mid m$ невозможен, так как тогда числитель не делится на 8. Остаётся как-то доказать невозможность $m \equiv 4 \pmod{8}$.

[maxal]

Для нечётного $m$ утверждение очевидно.

Для чётного $m$:
если $n$ - чётно, то числитель дроби сравним с 2 по модулю 4, а значит $k$ - нечётно.
если $n$ - нечётно, всё следует из LTE для $p=2$.

[nnosipov]

mathematician123 в сообщении #1559125 писал(а):

Остаётся как-то доказать невозможность $m \equiv 4 \pmod{8}$.

Да, это самое интересное здесь.

maxal в сообщении #1559126 писал(а):

если $n$ - нечётно, всё следует из LTE для $p=2$.

У меня быстро не получилось, хотя поначалу казалось, что все просто.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1559230 писал(а):

У меня быстро не получилось, хотя поначалу казалось, что все просто.

Ну да, в случае нечётного $n$ и $m\equiv 4\pmod{8}$ (влекущим $m\equiv 20\pmod{24}$) нужно еще воспользоваться квадратичным законом взаимности, что даст невозможность $-(m+3)\equiv -3\pmod{m/4}$ быть квадратичным вычетом по модулю $m/4$, а значит и противоречие с целостностью $k$.