Учебник по векторному исчислению Кочина задача 125

[Petrolettt]

День добрый!

Задача 125. Вектор $r(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})$, где $\boldsymbol{\omega}$ есть постоянный вектор, есть вектор соленоидальный (см. задачу 114). Представить его в виде вихря некоторого вектора.
Ответ: $r(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}) = -\operatorname{rot}(\frac{1}{3}r^3\boldsymbol{\omega})$

Раз $\operatorname{div}r(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})=0$ тогда можно найти такой вектор $\boldsymbol{b}$ что $r(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r})=\operatorname{rot}\boldsymbol{b}$
В координатах это:
$r(\omega_yz - \omega_zy) = \frac{\partial b_z}{\partial y} - \frac{\partial b_y}{\partial z}$
$r(\omega_zx - \omega_xz) = \frac{\partial b_x}{\partial z} - \frac{\partial b_z}{\partial x}$
$r(\omega_xy - \omega_yx) = \frac{\partial b_y}{\partial x} - \frac{\partial b_x}{\partial y}$

Три уравнения три неизвестные функции. Я такую систему не знаю как интегрировать да и есть ощущение, что все может быть проще... Но что, я пока не могу понять?

[svv]

То, что Кочин здесь называет вектором, лучше называть векторным полем (вектор как функция точки).
Конечно, решать задачу в лоб трудно. Основные советы — учитывать симметрию задачи и не искать общее решение, а постараться подобрать как можно более простой вид поля $\mathbf b(\mathbf r)$, ротор которого даст то, что нужно. Например, $\mathbf b=f\boldsymbol{\omega}$.

Уже полученная формула (34) из задачи 119 является подсказкой. В правой части второе слагаемое напоминает заданный ротор, а первое хотелось бы убрать. Но оно как раз и исчезает, если входящий туда вектор — константа.

Остаётся подобрать скалярную функцию. Повторю, что надо учесть симметрию задачи, а не искать функцию в виде $f(x,y,z).$

[Padawan]

svv
Опередили. Хотел написать, что из смысла ротора хочется искать поле $\boldsymbol{b}$ в виде $\boldsymbol{b}=f\boldsymbol{\omega}$.
Тогда $\nabla\times\boldsymbol b=\nabla(f\boldsymbol{\omega})=(\nabla f)\times\boldsymbol\omega+\varphi(\nabla\times\boldsymbol\omega)=(\nabla f)\times\boldsymbol\omega$. Мы хотим, чтобы это было равно $r(\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r)$, откуда находим $\nabla f=-r\boldsymbol r=-r^2\frac{\boldsymbol r}{r}, откуда уже находим $f=-\frac{1}{3}{r^3}$.

[svv]

Padawan, я решил на всякий случай проверить, выводилась ли эта формула ранее в учебнике. Скачал, посмотрел. Оказалось, да, это как раз содержание задачи 119. Так что в учебнике уже имеется очень прозрачная подсказка.

[Petrolettt]

Парни, гениально! Спасибо! Я все понял. Немного допишу чтоб засейвить...

Решение в виде $\boldsymbol{b} = f(r)\boldsymbol{\omega}$
Далее Padawan все расписал
Уточнение $\nabla f(r) = f'(r) \nabla r = f'(r) \frac{\boldsymbol r}{r} = -r \boldsymbol r$