Соседние натуральные числа в теореме Ферма

[dick]

Вопрос форуму: Может ли случай пары соседних натуральных чисел в качестве оснований степени уравнения Ферма, рассматриваться как один из законных частных случаев, наряду с множеством других вариантов?

[Otta]

Запрета нет.

[dick]

Можно ли это выразить так: $x^3=z^3-(z-1)^3$

[gris]

а как же случай $x^3=z^3+(z-1)^3$
То есть в случае двух последовательных чисел в уравнении могут быть более частные случаи. Например:
$168^3+44^3\approx 169^3$ и $163^3+164^3\approx 206^3$

[dick]

gris

В моих символах Ваш вариант будет: $z^3=(x+1)^3+x^3$. Я правильно понял?

[gris]

Ваша первоначальная символика более понятна. То есть $z$ обозначает меньшее из двух последовательных чисел, и уравнение можно записать как $x^3=(z+1)^3\pm z^3$
Правая часть раскладывается на множители и в самом первом варианте имеем $x^3=z^2+z+1$. Может быть можно что-нибудь придумать.

[dick]

Вы не так поняли. В моих символах $z$ это старший член тройки, а $x$ - младший. В этих же символах я переписал Ваш вариант для соседних, поняв его как сумму младшей пары, при том что у меня - разность старшей пары.

[gris]

Вам бы определить вначале, что рассматриваются строго упорядоченные тройки $(x,y,z): x^3+y^3=z^3$ , причём в тройке присутствуют два последовательных числа. Возможны два варианта $(x,x+1,z)$ и $(x,z-1,z)$. Я хотел сказать, что их нельзя определить одной простой формулой, разве что с плюс-минусом, то тогда да, пропадает упорядоченность в обозначениях.

[Pphantom]

Название изменено на более содержательное.

[dick]

Если $z$ и $x$ в обоих случаях одинаковы, то $x+1=z-1$. То есть три соседних.

[gris]

три последовательных числа это пересечение двух частных случаев. Этот случай можно отдельно рассмотреть. Интересно, что для квадратов имеется решение $(3,4,5)$. Для кубов и прочих левая часть меньше правой, а затем становится больше. То есть неравенствами не отделаться. Но, наверное, можно и другими средствами. Вам виднее.

[dick]

Что имеете ввиду под левой и правой частями?

[gris]

части уравнения $x^3+(x+1)^3=(x+2)^3$
Если перебирать с начала, то увидим:
$1^3+2^3 < 3^3$
$2^3+3^3 < 4^3$

[dick]

Понятно, но перебирать сначала не получится, потому что если $x^3+y^3=z^3$, то есть четвертое число $a$, такое что $x+y=z+a$.
И это четвертое кратно 6. Так что наименьшим возможным числом тройки является 7.

[gris]

Перебирать получится, но не нужно:) Хорошо. При $x=7$ функция $y=x^3+(x+1)^3-(x+2)^3$ положительна и монотонно возрастает далее, то есть не имеет корней при $x>7$. И можно считать ВТФ доказанной в случае трёх соседних натуральных чисел при показателе степени равном трём. Можно перейти к более высоким степеням.
Функция $y=x^n+(x+1)^n-(x+2)^n$ имеет ровно один действительный положительный корень, который неуклонно сдвигается вправо с ростом $n$.
Надо лишь показать, что он не целый. Тут нужны другие соображения.
Так что же вы решили для только двух соседних чисел?