Составить уравнение эллипса

[Alexander__]

Условия:

В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7.

---

Верно ли я понимаю, что окружность можно провести двумя способами: через вершины малой оси и через вершины большой оси? Если так, то в решении два варианта:

A. через малую ось

1. Длинна малой полуоси $b=\frac{7}{2}$
2. По определению $r_1+r_2=2 a$, поэтому из условия о правильном треугольнике: $2 c + 2 c = 2 а$, откуда $2 c = a$
3. Фокусное расстояние $c$ и полуоси эллипса связаны соотношением $a^2 = b^2 + c^2$, откуда

$$4 c^2 = b^2 + c^2$$

$$3 c^2 = b^2 $$

$$c=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{7}{2\sqrt{3}}$$

$$a=2 c = \frac{7}{\sqrt{3}}$$

Уравнение эллипса:

$$ \frac{x^2}{\frac{49}{3}} + \frac{y^2}{\frac{49}{4}} = 1 $$

B. через большую ось

1. Длинна большой полуоси $a=\frac{7}{2}$
2. По определению $r_1+r_2=2 a$, поэтому из условия о правильном треугольнике: $2 c + 2 c = 2 а$, откуда $c = \frac{a}{2} = \frac{7}{4} $
3. Фокусное расстояние $c$ и полуоси эллипса связаны соотношением $a^2 = b^2 + c^2$, откуда

$$b^2=a^2-c^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \left(\frac{7 \sqrt{3}}{4}\right)^2$$

Уравнение эллипса:

$$ \frac{x^2}{\frac{49}{16}} + \frac{y^2}{\frac{147}{16}} = 1 $$

[svv]

Alexander__ в сообщении #1557550 писал(а):

диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7.

Тут сказано, что окружность буквально проходит через центр эллипса — то есть центр эллипса является точкой на окружности, а не её центром. Центр эллипса и две вершины большой оси лежат на одной прямой, поэтому через них нельзя провести окружность. Аналогично центр эллипса и две вершины малой оси. Остаётся вариант провести окружность через центр эллипса, одну вершину большой оси и одну вершину малой оси. Вершины можно выбрать разными способами, но на решение задачи это не влияет.

[Alexander__]

svv в сообщении #1557551 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1557550 писал(а):

диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7.

Тут сказано, что окружность буквально проходит через центр эллипса — то есть центр эллипса является точкой на окружности, а не её центром. Центр эллипса и две вершины большой оси лежат на одной прямой, поэтому через них нельзя провести окружность. Аналогично центр эллипса и две вершины малой оси. Остаётся вариант провести окружность через центр эллипса, одну вершину большой оси и одну вершину малой оси. Вершины можно выбрать разными способами, но на решение задачи это не влияет.

Благодарю. Верное замечание. Тогда решение такое.

Можно просто показать, что центр окружности лежит на гипотенузе треугольника, образуемого малой и большой осями эллипса. Тогда система уравнений следующая:

$$ \begin{cases} r_1 + r_2 = 2c + 2c = 2a \Rightarrow 2c = a \\ a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow \frac{3}{4} a^2 = b^2 \\ a^2 + b^2 = 49 \end{cases} $$

Откуда простыми преобразованиями можно получить ответ: $ a=2 \sqrt{7}, b=\sqrt{21} $.

Верно ли такое решение?

[svv]

Да, всё правильно.
Учитывая, что в уравнение эллипса входят квадраты полуосей, $a^2=28, b^2=21$, из этих чисел даже корни не надо извлекать.