Производная двумерной функции распределения

[valerych]

В многих учебниках по теории вероятностей (например, у Боровкова) утверждается, что смешанная производная абсолютно непрерывной функции распределения

$$F(x,y) = \mathbf P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} = \iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} f(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y$$

почти всюду совпадает с плотностью случайного вектора, то есть

$$\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = f(x,y) \text{ п.в.}$$

Ни в одном учебнике я не нашёл доказательства этого факта. Помогите, пожалуйста, разобраться, верно ли это. В учебниках по теории меры можно найти утверждение, что

$$\lim_{\Delta \to 0+} \frac1{\Delta^2}\iint_{[x, x+\Delta]\times [y, y+\Delta]} f(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y = f(x, y) \text{ п.в.}$$

С другой стороны,

$$\lim_{\Delta_1 \to 0+, \Delta_2\to0+}\frac1{\Delta_1 \Delta_2} \iint_{[x, x+\Delta_1]\times [y, y+\Delta_2]} f(\tilde x, \tilde y)\, d\tilde x\, d\tilde y$$

может не совпадать с $f(x, y)$ на множестве ненулевой меры. В связи с этим фактом выражение для смешанной производной вызывает большие вопросы.

[Otta]

А для одномерного случая умеете доказывать?

[valerych]

Otta в сообщении #1558826 писал(а):

А для одномерного случая умеете доказывать?

Для одномерного случая доказательство есть, например, у Колмогорова, Фомина.

[Otta]

valerych
И что, как следствие не получается?

[valerych]

Otta в сообщении #1558829 писал(а):

valerych
И что, как следствие не получается?

Из одномерного случая следует, что

$$\frac{\partial F(x, y)}{\partial x} = \int_{(-\infty, y]} f(x, \tilde y) \, d\tilde y$$

для п.в. $x$ относительно одномерной меры Лебега и всех $y$. При этом множество $A(y)$, на котором выполнено данное равенство, зависит от $y$. Далее можно взять $x \in A(y)$. Если бы приведённое выше равенство было верно для всех $x$, то легко найти производную $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}\right) = f(x, y) $ для п.в. $y$ относительно одномерной меры Лебега. Проблема в том, что у эквивалентных функций производные не обязаны существовать одновременно. Например, функция Дирихле эквивалентна нулю, но производной, в отличие от нуля, не имеет ни в одной точке.

[Otta]

Что-то Вы сложно живете. Или я чего не понимаю.

valerych в сообщении #1558825 писал(а):

абсолютно непрерывной функции распределения

$$F(x,y) = \mathbf P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} = \iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} f(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y$$

Есть суммируемая функция $f$. Фиксируем в определении выше одну переменную. Считаем частную производную по другой (самый первый результат параграфа 3 Колмогорова). Считаем частную производную по оставшейся в полученном равенстве (п.в., да, но и производная существует п.в.).
Что не так?

[valerych]

Otta в сообщении #1558846 писал(а):

Что не так?

Обозначим

$$H(x, y) = \frac{\partial F(x, y)}{\partial x}.$$

Эта формула корректна при $x \in A(y)$. Попробуем вычислить производную

$$\frac{\partial H(x, y)}{\partial y} = \lim_{n\to\infty} \frac{ H(x, y+\frac1n) - H(x, y)}{1/n}. $$

Может так получиться, что $x \notin A(y+\frac1n) $ для всех $n$. Тогда производную вычислить не получится.

[Otta]

valerych в сообщении #1558847 писал(а):

Тогда производную вычислить не получится.

Ну и не надо.

[valerych]

Otta в сообщении #1558848 писал(а):

valerych в сообщении #1558847 писал(а):

Тогда производную вычислить не получится.

Ну и не надо.

А как гарантировать, что такое не случится на множестве ненулевой меры?

[Otta]

Давайте я спрошу, правильно ли я понимаю место затыка.
Пусть производная по $x$ существует везде, кроме множества $E$ меры ноль.
Возьмем $x\notin E$. Нам нужно обеспечить равенство для производной по $y$, и мы знаем, что оно не выполнено (каждое) на множестве меры ноль, но зависящем от $x$. Вопрос заключается в том, верно ли, что последовательное дифференцирование даст равенство, нарушенное на множестве нулевой меры. Так?

[valerych]

Otta в сообщении #1558854 писал(а):

Давайте я спрошу, правильно ли я понимаю место затыка.
Пусть производная по $x$ существует везде, кроме множества $E$ меры ноль.
Возьмем $x\notin E$. Нам нужно обеспечить равенство для производной по $y$, и мы знаем, что оно не выполнено (каждое) на множестве меры ноль, но зависящем от $x$. Вопрос заключается в том, верно ли, что последовательное дифференцирование даст равенство, нарушенное на множестве нулевой меры. Так?

Дело в том, что это множество $E$ для каждого $y$ своё. Правильней писать $E(y)$. Да, мы берём $x\notin E(y)$. При вычислении производной по $y$ нужно, чтобы $x\notin E(y+\frac1n)$, начиная с некоторого номера $n$. Может ли такое не происходить на множестве ненулевой меры? Вопрос Вы сформулировали верно, нужно только уточнить, что на множестве двумерной меры Лебега.

Кстати, первая производная $\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}$ не определена корректно на множестве $\bigcup_{y\in\mathbb R}\{(x, y) \mid x \in E(y)\}$.
Это континуальное объединение множеств нулевой меры. Нет гарантии, что оно тоже имеет нулевую меру.

[Otta]

valerych
1/ Я в первую очередь считаю производную по $x$. В соответствии с собственным текстом выше. $y$ у меня при этом фиксирован. (Если не фиксировать - то да, для каждого $y$ свое множество). Но у меня фиксирован. И известно, что множество $E$ нулевой меры, если рассматривать меру на оси $x$.

valerych в сообщении #1558857 писал(а):

При вычислении производной по $y$ нужно, чтобы $x\notin E(y+\frac1n)$

Зачем нужно? Почему именно такой выбор элементов окрестности?

valerych в сообщении #1558857 писал(а):

Вопрос Вы сформулировали верно, нужно только уточнить, что на множестве двумерной меры Лебега.

Да, спасибо, я понимаю.

valerych в сообщении #1558857 писал(а):

Это континуальное объединение множеств нулевой меры.

Это осложняет дело, но не портит. Вы пробовали смотреть в сторону прямого произведения мер и вычисления меры с помощью интеграла?

[valerych]

Otta в сообщении #1558858 писал(а):

valerych
Зачем нужно? Почему именно такой выбор элементов окрестности?

Это необходимое условие. Более точно: для любой последовательности $\delta_n\to 0$, начиная с некоторого номера $n$ выполнено $x \notin E(y + \delta_n)$.

Otta в сообщении #1558858 писал(а):

valerych
Это осложняет дело, но не портит. Вы пробовали смотреть в сторону прямого произведения мер и вычисления меры с помощью интеграла?

Теорема Фубини фактически используется при вычислении частной производной.
В первом сообщении я писал о известных результатах в области дифференцирования аддитивной функции множества. Их можно найти, например в книге Богачева "Теория меры". Производная по мере ищется как предел отношений интеграла к мере области. Если брать квадраты, то равенство верно почти всюду. А вот если прямоугольники, то уже равенство может нарушаться в случае, когда длина одной стороны стремится к нулю быстрее чем длина другой стороны. Поэтому возникли сомнения в существовании смешанной производной почти всюду.

[Otta]

valerych в сообщении #1558859 писал(а):

Это необходимое условие.

Необходимое условие чего? Я уже путаюсь в Ваших $E$ и в своих, давайте что-то одно.

-- 30.06.2022, 01:52 --

valerych в сообщении #1558859 писал(а):

Теорема Фубини фактически используется при вычислении частной производной.

Хорошо. Это к чему? Я не о теореме Фубини.
https://en.wikipedia.org/wiki/Product_measure

[Otta]

Пришлось скачивать Богачева. Теми самыми "известными результатами"

valerych в сообщении #1558859 писал(а):

в области дифференцирования аддитивной функции множества.

Вы, видимо, называете теоремы 5.6.2 и 5.6.3 тома 1.
Хорошие результаты, но к вычислению Ваших производных они не имеют никакого касательства. Это усреднение.
Сейчас у меня складывается впечатление, что Вам не столько результат нужен, сколько согласовать его с Богачевым.
Не надо задействовать мощную артиллерию: результат простой, рассказывается в каждом курсе тервера, сомневаться в его истинности точно не нужно.
А хотите подоказывать - мне кажется, средств из перечисленных выше по странице за глаза хватит. А может, можно и проще.

-- 30.06.2022, 03:47 --

valerych в сообщении #1558859 писал(а):

Более точно: для любой последовательности $\delta_n\to 0$, начиная с некоторого номера $n$ выполнено $x \notin E(y + \delta_n)$.

Еще раз: зачем. И кто такой $E(\cdot)$. Давайте унифицировать наши с вами обозначения.