Формулировка задачи математического программирования

[give_up]

Я прочитал формулировку задачи математического программирования в учебнике Сухарева и др. "Курс методов оптимизации" и сразу возник вопрос по множеству $P$, задающему так называемое прямое ограничение.

Вот как там выглядит формулировка задачи математического программирования:

$\begin{gathered} f(x) \rightarrow \min \\ g_{i}(x) \leqslant 0, \quad i=1, \ldots, k \\ g_{i}(x)=0, \quad i=k+1, \ldots, m, \quad x \in P \end{gathered}$

где множество $P$ задает так называемое прямое ограничение и удовлетворяет включениям $P \subset \operatorname{dom} f \subset \mathbb{R}^n$ и $P \subset \operatorname{dom} g_i \subset \mathbb{R}^n, ~ \forall i =1,\ldots,m$.

Как я понял, при желании множество $P$ всегда можно задать с помощью набора равенств и неравенств, то есть просто добавив еще несколько подходящих функций $g_i(x)$ в набор ограничений (как пишет Сухарев, обычно множество $P$ имеет простую структуру типа параллелепипеда, которая очень просто задается несколькими ограничениями-неравенствами). Если это так, то зачем это множество $P$ вообще нужно? То есть оно вводится исключительно для удобства записи (для отделения ограничений, задающих некоторое простое множество типа куба или параллелепипеда от других, возможно более сложных ограничений $g_{i}(x)$) или нужно еще зачем-то?

[Otta]

Вопрос непонятен. Что значит - зачем нужно? Это множество, на котором ищется точка минимума функции при заданных ограничениях. Никакого сакрального смысла больше нет.

[give_up]

Otta в сообщении #1558823 писал(а):

Вопрос непонятен. Что значит - зачем нужно? Это множество, на котором ищется точка минимума функции при заданных ограничениях. Никакого сакрального смысла больше нет.

Вопрос был как раз в том, есть ли у него сакральный смысл или оно вводится просто для удобства в том смысле, в котором я описал в первом посте.

Например, в самом популярном на западе учебнике по оптимизации S.Boyd "Convex optimization" наиболее общая постановка задачи оптимизации выглядит следующим образом:

$\begin{array}{ll} \operatorname{minimize} & f_{0}(x) \\ \text { subject to } & f_{i}(x) \leq 0, \quad i=1, \ldots, m \\ & h_{i}(x)=0, \quad i=1, \ldots, p \end{array}$

и никакого множества $P$ в ней нет и в помине. Всегда ли можно свести задачу, которую я описал в первом посте, к такому виду, то есть избавиться от $P$ путем введения некоторого количества дополнительных ограничений типа равенств и неравенств? Если ответ нет, то получается что задача из первого поста более общая и тогда странно, что ее постановки нет в учебнике Boyd (там конечно в основном задачи выпуклой оптимизации, но есть специальная глава, где рассматриваются общие постановки задач оптимизации).

[Otta]

Ну например.
$f(x,y)=x^2+y^2\to \min$
при
$f_1(x,y)= (x-1)^2+(y-1)^2-1\le 0$
Это задача раз.
Задача два - то же, но $P=\{x\in [0,1], y - \text{любой}\}$.

Пример дурацкий, просто какой пришел в голову. Может, есть и что-то содержательное.

[eugensk]

Формально можно добавить $g_{m+1}=\lambda_P -1$, только наверно не всегда удобно.

[give_up]

eugensk в сообщении #1558878 писал(а):

Формально можно добавить $g_{m+1}=\lambda_P -1$, только наверно не всегда удобно.

Я правильно понял, что $\lambda_P$ у вас - это индикаторная функция множества $P$, то есть $\lambda_P(x) = \begin{cases} 1, & x \in P \\ 0 & x \notin P ~\end{cases}$ ?

Тогда действительно, добавление ограничения $x \in P$ будет равносильно добавлению ограничения-равенства $\lambda_P(x) - 1 = 0$. Оно правда будет негладким ограничением, но формально вполне подходит.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1558812 писал(а):

Если это так, то зачем это множество $P$ вообще нужно?

Для множеств простой структуры разработаны специальные несложные методы.