Группа и её автоморфизмы

[Slav-27]

Не каждое отображение образующих продолжается до гомоморфизма и тем более до автоморфизма, но если продолжается, то однозначно,

[B@R5uk]

B@R5uk в сообщении #1558705 писал(а):

Автоморфизм конечной группы однозначно определяется отображением её образующих

Всё-таки это утверждение является истинным, поскольку все элементы группы однозначно (хотя, как правило, не единственной формулой) определяются через образующие группы. Соответственно, отображение образующих однозначно задаст отображение всех элементов группы, что равносильно указанию автоморфизма.

Slav-27 в сообщении #1558706 писал(а):

Не каждое отображение образующих продолжается до гомоморфизма и тем более до автоморфизма

Разумеется. В моей программе это проверяется в лоб для надёжности.

В связи с этим рассмотрим группу, заданную образующими, количество которых равно рангу группы:

$$G=\left\langle\left\{a_k,\;k=\overline{1,\operatorname{rank}\left(G\right)}\right\}\right\rangle$$

И рассмотрим их отображение:

$$a_1\to a_1^{-1},\;a_k\to a_k,\;k\ne 1$$

В связи со сказанным выше мне видятся такие случаи:

1. Группа не имеет образующих (тривиальный случай $G=\mathbb{Z}_1$)
2. Все элементы группы имеют порядок 2 (тривиальный случай $G=\mathbb{Z}_2$)
3. В группе с порядком $\left|G\right|>2,\;\left|G\right|\ne 2^n,\;n\in\mathbb{N}$ нельзя выбрать образующие так, чтобы порядок хотя бы одной из них не был равен 2 (из практического опыта это кажется невозможным, но требует доказательства)
4. $\left|a_1\right|>2$, но указанное отображение образующих не является корректным (не порождает автоморфизм).
5. $\left|a_1\right|>2$, указанное отображение порождает автоморфизм (порядка 2), в результате
   $$\left|\operatorname{Aut}\left(G\right)\right|=2k,\,k\in\mathbb{N}$$

поскольку порядок элемента всегда делит порядок конечной группы.

Если группа автоморфизмов будет иметь нечётный порядок, то 4-й случай, как мне кажется, наиболее вероятен. Тогда должен существовать пример (не обязательно дающих группу автоморфизмов с нечётным порядком) группы и выбора образующих (в минимальном количестве, равному рангу G), таких что нельзя бы было заменить образующую на обратную и получить автоморфизм. Мне кажется такое невозможным, но невозможность сложнее доказать, чем привести пример возможности (если он существует).

[Slav-27]

B@R5uk в сообщении #1558708 писал(а):

Если группа автоморфизмов будет иметь нечётный порядок, то 4-й случай, как мне кажется, наиболее вероятен.

Похоже, вы правы, на дороге такие не валяются.
Но всё же бывают.

https://arxiv.org/pdf/0905.0993.pdf писал(а):

Теорема 1.1. Если $G$ -- нетривиальная конечная группа и $|\mathrm{Aut}G|$ нечётен, то $|\mathrm{Aut}G|\geqslant 3^7$.

Там же есть ссылка, что бывают группы порядка $3^6$ с таким свойством.

[B@R5uk]

Вах! Это надо срочно изучить. Slav-27, спасибо за ссылку! Надеюсь моей компетенции будет достаточно, чтобы ухватить смысл статьи.

[Slav-27]

Только у них, видимо, опечатка, надо требовать нетривиальность $\mathrm{Aut}G$, а не $G$.

[mihaild]

Slav-27 в сообщении #1558714 писал(а):

Только у них, видимо, опечатка, надо требовать нетривиальность $\mathrm{Aut}G$, а не $G$.

Ну конечных групп с тривиальными автоморфизмами всего две.

Вообще странно, что к такому простому свойству контрпример есть, но только большой.

[B@R5uk]

Не, текст статьи выше моей компетенции. Там даже не то что не ясно, про что леммы и теоремы утверждают, порой сами обозначения мне неизвестны. Вот что, например, выражение $\Omega\left(\left|\operatorname{Aut}\left(G\right)\right|\right)\le 4$ означает? Выражение $\pi\left(G\right)$ я где-то уже встречал и оно означает множество простых делителей порядка группы и ещё обозначается как $\pi\left(\left|G\right|\right)$.

В статье, в списке литературы приведён учебник с полным курсом теории групп (видать, для таких как я): W. R. Scott - Group Theory. Автор начинает с того, что вводит определение функции (!!!) как множества упорядоченных пар, после чего доказывает разные свойства. До чего-то содержательного именно по теории групп пока дойти не осилил. С одной стороны, последовательность в изложении — это хорошо, а с другой, попадались учебники по-интересней.

В четвёртом параграфе статьи обсуждается одна особенная группа:

Цитата:

In fact, if $G/Z$ has odd order less than $3^7$, then either G has an automorphism of order 2, or $G/Z$ is a group of order $3^4\cdot 13$ with a very specific structure : namely, it is the split extension of an elementary abelian group of order $3^3$ by a non-abelian group of order 39. In the latter case we could only show that either $G$ has an automorphism of order 2, or a non-trivial central automorphism which was necessarily outer. It would be interesting to establish if this case is a genuine exception or whether a group with this structure cannot be N.I. either.

Я правильно понимаю, что авторы имеют в виду следующее:

$$G/Z=N\rtimes Q$$

где

$$\left|N\right|=39,\quad\left|Q\right|=27$$

и группа Q — абелева?

[Slav-27]

B@R5uk в сообщении #1558947 писал(а):

Вот что, например, выражение $\Omega\left(\left|\operatorname{Aut}\left(G\right)\right|\right)\le 4$ означает?

Там в низу 1-й страницы написано.

-- 30.06.2022, 22:08 --

B@R5uk в сообщении #1558947 писал(а):

Я правильно понимаю, что авторы имеют в виду следующее:

Вроде бы да. Обычно расширение $X$ с помощью $Z$ -- это точная последовательность $1\to Z\to Y\to X\to 1$ ("$Spin(n)$ -- центральное расширение $SO(n)$ с помощью $\mathbb Z/2$"), а у знака $\rtimes$ треугольник смотрит носом в сторону нормальной подгруппы, но, насколько я помню, порой соглашения бывают обратные (независимо друг от друга).

-- 30.06.2022, 22:10 --

Впрочем, про это тоже написано, только теперь в верху 2-й страницы. Вы, похоже, просто невнимательно читаете.

-- 30.06.2022, 22:46 --

Я посмотрел формулировки лемм и теорем, по-моему, все они мне понятны, спрашивайте, если надо. Я не сразу понял, что такое $A^B$, но вроде бы это автоморфизмы $A$, получающиеся как сопряжения некоторым элементом $B$ (бывает обоначение $a^b:=b^{-1}ab$).

[B@R5uk]

Slav-27 в сообщении #1558954 писал(а):

Вы, похоже, просто невнимательно читаете.

Похоже на то. Плюс, прочитал, потом нашёл что-то другое непонятное, пошёл искать, а что прочитал — забыл. Спасибо за указания.

Групп 39-го порядка только две (в статье The Groups of Order Sixteen Made Easy в конце сводная табличка с количеством для 199 порядков есть). Одна, очевидно, $\mathbb{Z}_{39}$, а другая — неабелева, поэтому:

$$N=\mathbb{Z}_{13}\rtimes\mathbb{Z}_3=\left\langle\;a,\,b\;|\;a^{13}=b^3=e,\;ab=ba^3\;\right\rangle$$

причём

$$\operatorname{Aut}\left(N\right)=\mathbb{Z}_{13}\rtimes\mathbb{Z}_{12}=\left\langle\;a,\,b\;|\;a^{13}=b^{12}=e,\;ab=ba^2\;\right\rangle$$

$$\operatorname{Aut}\left(N\right)=N\rtimes\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\,b\;|\;a^{13}=b^{3}=c^{4}=\left[b,\;c\right]=e,\;ab=ba^3,\;ac=ca^5\;\right\rangle$$

Я это к тому, что все возможные варианты обсуждаемой в статье группы можно было бы, наверно, легко перебрать численно и ответить на поставленные в статье вопросы. Ведь вариантов не так много: N единственна, Q может быть только тремя группами, в $\left|\operatorname{Aut}\left(N\right)\right|$ множитель 3 только в первой степени, подгрупп 3-го порядка в $\operatorname{Aut}\left(N\right)$, правда, целых 13, но они все эквивалентны друг другу (это не всегда означает, что будут получаться одинаковые полупрямые произведения, но всё же), так что число различных изоморфизмов $Q\to\operatorname{Aut}\left(N\right)$ не сильно велико. Интересно, с 2009 года кто-нибудь это сделал?

[Slav-27]

B@R5uk в сообщении #1558962 писал(а):

Групп 39-го порядка только две

Кстати, это простое упражнение на применение теорем Силова, которые вам точно понадобятся, если вы хотите заниматься группами.

B@R5uk в сообщении #1558962 писал(а):

Q может быть только тремя группами

Там написано "элементарная", насколько я понимаю, это значит $(\mathbb Z_3)^3$.

B@R5uk в сообщении #1558962 писал(а):

Ведь вариантов не так много

Но это только фактор по центру.

[B@R5uk]

А верно ли, что

$$\mathbb{Z}_k\subset G\Rightarrow\operatorname{Aut}(\methbb{Z}_k)\subset\operatorname{Aut}(G)$$

В общем случае это не работает. Контрпример:

$$\mathbb{Z}_2^2\subset\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2,\quad \mathbb{Z}_2^2\subset\mathrm{D}_8$$

но

$$\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_2^2)=\mathrm{D}_6\not\subset\mathrm{D}_8=\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2)=\operatorname{Aut}(\mathrm{D}_8)$$

В обеих этих случаях один из элементов подгруппы $\mathbb{Z}_2^2$ завязан на остальную группу таким образом, что он не может быть переставлен с остальными элементами подгруппы (в том числе циклически). Другими словами, он оказывается выделенным; в случае $\mathrm{D}_8$ — вообще является центром, в то время как остальные два не являются. Может ли что-то подобное случиться с произвольной циклической подгруппой?

[mihaild]

Если $G$ абелева, то да - любой автоморфизм $\mathbb Z_k$ продолжается до автоморфизма $G$.
В общем случае до автоморфизма всей группы продолжаются только внутренние автоморфизмы подгруппы. Точная формулировка: если $H$ - группа, и $\ varphi $ - её автоморфизм, такой что для любой группы $G$ для любого вложения $H$ в эту группу есть автоморфизм $G$, ограничение которого на $H$ совпадает с $\varphi $, то $\varphi $ внутренний (Schupp, A Characterization of Inner Automorphisms).
Но это, конечно, не означает отрицательного ответа - то, что нельзя найти подгруппу с помощью продолжения автоморфизмов, не означает, что её нет. Тут наверное в первую очередь надо посмотреть, как Schupp доказывает результат, может быть примеры, когда автоморфизм не продолжается, сразу подойдут.

[mihaild]

Посмотрел доказательство, кажется из него получить нужный результат шансов немного. Там для группы $H$ строится вложение её в группу $G$, такое что сопряжение $H$ элементами $G \setminus H$ не пересекаются с $H$ (это называется $H$ malnormal в $G$), и все автоморфизмы $G$ внутренние. Пусть $\varphi$ продолжается до автоморфизма $G$, но тогда он продолжается до внутреннего автоморфизма $G$, сохраняющего $H$, но все такие автоморфизмы задаются элементами из $H$, значит $\varphi$ внутренний.

Но группа $G$, которая там строится, большая и сложная, и что там с порядками её автоморфизмов бывает я разобраться не могу.

[mihaild]

И ответ на вопрос "бывает ли так" на самом деле получается из двух очевидных соображений и одного упомянутого выше:
1. У любой циклической группы порядка больше 2 есть автоморфизм порядка 2.
2. Любая неабелева группа содержит циклическую подгруппу порядка больше 2.
3. Существует группа у которой нет автоморфизма порядка 2.

Остается, конечно, вопрос, для каких порядков циклической группы такое бывает.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1565291 писал(а):

Остается, конечно, вопрос, для каких порядков циклической группы такое бывает.

Ещё можно поинтересоваться минимальным контрпримером. Минимальность может быть как по порядку циклической подгруппы, так и по порядку всей группы (если эти два контрпримера отличаются).