Группа треугольника

[sour]

В ходе решения одной задачи получил группу, изоморфную $\Delta(2,3,4)$. Есть два вопроса:

1) Где вообще можно почитать про группу треугольника? Меня интересует, как находят порядки таких групп.
2) На вики написано, что можно сопоставить $\Delta(2,3,4)$ и группу изометрий куба. У меня есть доказательство того, что группа изометрий куба может быть получена минимум 4я отражениями, однако $\Delta(2,3,4)$ образуют 3 элемента порядка 2. Я не прав и группу изометрий куба можно получить тремя отражениями или минимум одна из образующих $\Delta(2,3,4)$ изоморфизмом переводится не в отражение? Или же под сопоставлением в вики имеется в виду не изоморфизм?

[Gyros]

На эту тему хорошо и наглядно написано в небольшой книжке

"Группы и их графы" Магнус В., Гроссман И. 1971 г.

Рекомендую почитать. Очень увлекательное введение в теорию групп. Наверное наиболее доступное для начинающих.

[B@R5uk]

Я программу специальную для такого дела писал. Она по набору групповых соотношений:

Используется синтаксис Text

"aa" -> ""
"bb" -> ""
"cc" -> ""
"abab" -> ""
"acacac" -> ""
"bcbcbcbc" -> ""

Строит набор редуцирующих соотношений:

Используется синтаксис Text

"aa" -> ""
"bb" -> ""
"cc" -> ""
"ab" == "ba"
"aba" -> "b"
"aca" == "cac"
"acac" -> "ca"
"acba" == "cacb"
"bcbc" == "cbcb"
"bcbcb" -> "cbc"
"acbcb" == "bacbc"
"acbcac" == "cacbca"

Затем, пользуясь этим набором, стоит список всех уникальных элементов группы и затравку таблицы умножения, соответственно:

Используется синтаксис Text

    #   *a   *b   *c   Name
    0    1    2    3   ""
    1    0    5    4   "a"
    2    5    0    6   "b"
    3    7    8    0   "c"
    4   13    9    1   "ac"
    5    2    1   10   "ba"
    6   11   12    2   "bc"
    7    3   14   13   "ca"
    8   14    3   15   "cb"
    9   20    4   16   "acb"
   10   18   17    5   "bac"
   11    6   19   18   "bca"
   12   19    6   23   "bcb"
   13    4   20    7   "cac"
   14    8    7   21   "cba"
   15   22   23    8   "cbc"
   16   24   25    9   "acbc"
   17   26   10   25   "bacb"
   18   10   26   11   "bcac"
   19   12   11   27   "bcba"
   20    9   13   28   "cacb"
   21   30   29   14   "cbac"
   22   15   31   30   "cbca"
   23   31   15   12   "cbcb"
   24   16   32   35   "acbca"
   25   32   16   17   "bacbc"
   26   17   18   33   "bcacb"
   27   38   34   19   "bcbac"
   28   35   36   20   "cacbc"
   29   37   21   36   "cbacb"
   30   21   37   22   "cbcac"
   31   23   22   38   "cbcba"
   32   25   24   39   "bacbca"
   33   39   40   26   "bcacbc"
   34   43   27   40   "bcbacb"
   35   28   41   24   "cacbca"
   36   41   28   29   "cbacbc"
   37   29   30   42   "cbcacb"
   38   27   43   31   "cbcbac"
   39   33   44   32   "bcacbca"
   40   44   33   34   "bcbacbc"
   41   36   35   45   "cbacbca"
   42   45   46   37   "cbcacbc"
   43   34   38   46   "cbcbacb"
   44   40   39   47   "bcbacbca"
   45   42   47   41   "cbcacbca"
   46   47   42   43   "cbcbacbc"
   47   46   45   44   "cbcbacbca"

Дальше строится таблица умножения, и понеслась! Подгруппы, классы эквивалентности, порядки и так далее. Но это решение в лоб на компьютере, чтобы не думать. За то работает для любой конечной группы.

-- 24.06.2022, 18:42 --

Gyros в сообщении #1558387 писал(а):

"Группы и их графы" Магнус В., Гроссман И. 1971 г.

Эту книгу плюсую. Отличная и увлекательная штука, тоже с неё начинал.

[sour]

B@R5uk
Огромное вам человеческое спасибо, счастья и здоровья!

[B@R5uk]

sour, спасибо, не за что. Да и, собственно, за что? Вас так сильно порядок интересовал? Я как-то в интернетах на разные сайты натыкался, где о различных группах всякая полезная и иногда не понятная информация приводится. В том числе даже графы Кэли. Образцы группы треугольников должны тоже быть в таких списках по идее. Типа этого, например.

[sour]

B@R5uk
Ваши вычисления показали мне, что группа изометрий куба может быть порождена всего тремя отражениями, хотя ранее я считал, что для этого требуется минимум 4 отражения. А дальше я смог довольно красиво, как мне кажется, доказать, что это так.

[B@R5uk]

А, вы ранк группы имеете в виду. Надо заметить, что ранк 3 — довольно приличная величина, даже все группы симметрий имеют всего ранк 2. А для группы 3-го ранка, порядок которой делится на 3, минимальный порядок будет 18 (группа $\mathbb{Z}_3^2\rtimes\mathbb{Z}_2$, одна из, во всяком случае).

sour в сообщении #1558528 писал(а):

А дальше я смог довольно красиво, как мне кажется, доказать, что это так.

А что именно вы доказывали? То, что ранк этой группы не может быть равен двум?

Кстати, вычислительная задача нахождения ранка группы — та ещё морока. Она неразделима с поиском базиса в группе (как раз вот набор элементов, которые можно принять за образующие). Не знаю, как у вас это получилось, а в общем случае приходится перебирать всевозможные произведения подгрупп и убеждаться, что группа целиком получается замыканием объединения такого-то минимального числа таких-то циклов (циклических подгрупп).

Я правильно понял, что под изометриями куба вы симметрии имеете в виду?

-- 26.06.2022, 16:57 --

sour в сообщении #1558528 писал(а):

хотя ранее я считал, что для этого требуется минимум 4 отражения.

Ну, как только вы поняли, что ваша группа изоморфна группе треугольника, то можно было сразу увидеть она в свою очередь задаётся тремя образующими.

[sour]

B@R5uk

Цитата:

А что именно вы доказывали? То, что ранк этой группы не может быть равен двум?

В том числе. Недостаточно доказать, что он не равен двум, надо еще доказать, что он равен именно трем. Мне надо было доказать, что группа изометрий куба образуется тремя отражениями. Вернее даже не так, мне надо было определить, каким числом отражений может быть образована группа изометрий куба.

Цитата:

в общем случае приходится перебирать всевозможные произведения подгрупп

Мое решение красиво, потому что мне не приходится это делать.

Цитата:

Я правильно понял, что под изометриями куба вы симметрии имеете в виду?

Да.

Цитата:

можно было сразу увидеть

Верно. Но мне надо было определить, что эти три элемента могут быть отражениями. Вообще говоря это неочевидно, может так быть, что группу изометрий куба образуют три зеркальных поворота(у них порядок будет тоже равен 2), или некоторое количество зеркальных поворотов и отражений... Вариантов много.

[B@R5uk]

sour, я вам начал тут писать один ответ, разглядывая результаты, что выдала мне моя (другая) программа, а потом я заметил, что не правильно вы решили. У этой группы ранк равен 2, а не 3. Я глубоко сомневаюсь, что в моей программе косяк (проверена на приличном множестве групп), но выловить символьное представление группы из её результатов будет не такой уж простой задачей. Прежде чем вы будете ругаться на результаты работы первой программы, представленные выше, сразу оговорюсь, что она предназначена для построения таблицы умножения по групповым (символьным) соотношениям, и ей всё равно, сколько в соотношениях использовано образующих.

[sour]

B@R5uk
Ранг может быть и равен 2, а вот минимальное число отражений, образующих группу: 3.

[B@R5uk]

Пытаюсь понять, какие элементы 2-го порядка какие. Их 19 штук, автоморфизмами они разбиваются на 4 класса.

Первый класс состоит из одного элемента, который коммутирует со всеми элементами группы.

Второй класс — из трёх элементов, которые с тривиальным элементом группы образуют подгруппу $\mathbb{Z}_2^2$.

Третий класс тоже состоит из трёх элементов, которые с первыми четырьмя и тривиальным образуют подгруппу $\mathbb{Z}_2^3$.

Четвёртых класс содержит 12 элементов. Если удачно выбрать 3 из них, то получится вся группа целиком. Если неудачно — то одна из множества подгрупп: $D_6$, $\mathbb{Z}_2^3$ (другие несколько), $D_{12}$, $S_4$ или несколько каких-то подгрупп 16-го порядка.

Узнаёте в них свои отражения, повороты и прочее?

[sour]

B@R5uk
Узнаю. Первый класс - это такая изометрия, которая переставляет местами противоположенные вершины, второй и третий классы - повороты на 180 градусов, а четвертый - отражения.

[B@R5uk]

sour в сообщении #1558560 писал(а):

а четвертый - отражения

То есть получается, что отражения вдоль плоскостей, проходящих через рёбра, и отражения вдоль центральных плоскостей, параллельных сторонам куба, являются эквивалентными? На первый взгляд это разные движения. Алсо, я перечислил только 9 из 12 отражений. Что-то не соображу: какие ещё там три есть?

[sour]

B@R5uk

Цитата:

То есть получается, что отражения вдоль плоскостей, проходящих через рёбра, и отражения вдоль центральных плоскостей, параллельных сторонам куба, являются эквивалентными? На первый взгляд это разные движения.

Да, разные. Помимо 9 отражений есть всяческие зеркальные повороты, которых сильно больше, чем 3.