Треугольники

[upgrade]

wrest в сообщении #1557367 писал(а):

upgrade в сообщении #1557350 писал(а):

Три кубика

...

upgrade в сообщении #1557350 писал(а):

четвертый кубик - выпало 10

Поиск ошибок - важная составляющая обучения

[druggist]

wrest в сообщении #1557335 писал(а):

Потом наложить второе условие: вычесть количество троек, соответствующих вырожденным и невозможным треугольникам, которые как раз легче перечислить "руками" ибо их всего три: $(10,10,20);(10,10,25);(10,15,25)$ и "легко видеть" что других неподходящих нет

Можно попытаться как-то проиллюстрировать это "легко видеть":
Построим сначала "заготовки" треугольников из двух звеньев. Их будет 10 ($C^{4+2-1}_2$) c с суммарной длиной от 20(10+10) до 50(25+25) с интервалом 5(3пары "заготовок"имеют одинаковые длины). Длина 3-тьей стороны для "нелегитимного" треугольника должна быть больше или равна сумме двух других. Это выполняется только для 20 (10+10) < 25, 20 (10+10) = 20 и
25 (10+ 15 ) = 25

[wrest]

druggist в сообщении #1557402 писал(а):

Можно попытаться как-то проиллюстрировать это "легко видеть":

...

Цитата:

Это выполняется только для

Ну примерно так. Но это тот же перебор: вид сбоку, просто меньше перебирать.
Перебор исключается только в случае если удвоенное наименьшее число больше наибольшего. Например если даны числа $(4,5,6,7)$ то поскольку $2 \cdot 4 = 8 > 7$ то любые треугольники, составленные из отрезков длиной соответствующей этим числам (с повторами), существуют и невырождены и ответ к задаче будет равен $20$. А для набора $(1,2,3,4)$ оказывается, что несуществующих/вырожденных треугольников даже как-то слишком много (разносторонний существует только один, с длинами $(2,3,4)$).

[vpb]

druggist в сообщении #1557351 писал(а):

Речь не о смысле, а о методе. Вспомните Гаусса(кажется), как он ребенком сложил сумму чисел от 1 до 100)

Гаусса можно было бы вспомнить, если бы была задача про треугольники со сторонами из ряда чисел $2,3,\ldots, 101$. Но это была бы уже другая задача. Как говорят философы, количество переходит в качество. А так Гаусс тут ни при чем. К простым задачам должны быть и методы простые.

druggist в сообщении #1557355 писал(а):

В детском журнале "Квант"

который, внезапно, для старших подростков и даже студентов ... а иногда даже и очень взрослых дядей ! Хотя кое-что, но немного, там есть и для детей.

Arks в сообщении #1557372 писал(а):

Эк вы целую культуру решений отменили, где у относительно простых задач ищутся элегантные решения с мощным матаппаратом (из пушки по воробьям)

Вы так говорите, как будто это что-то плохое ! Да, мне не нравится "культура" высасывания сложностей из пальца на пустом месте. И я даже в рамках форума, а иногда и не только форума, пытаюсь с ней бороться. Но это отдельная тема.

[Arks]

vpb в сообщении #1557446 писал(а):

И я даже в рамках форума, а иногда и не только форума, пытаюсь с ней бороться

Не нравится, проходите мимо. Не мешать людям заниматься тем, чем им нравится - это база

-- 15.06.2022, 19:52 --

По поводу темы, решение wrest простое и элегантное. Сложно и муторно это как раз в ручную перебирать все частные случаи. Посмотрел бы, как вы будете это делать в случае десяти сторон
Да и ребенку полезно узнать формулу числа сочетаний с повторениями

[vpb]

Arks в сообщении #1557517 писал(а):

Не нравится, проходите мимо. Не мешать людям заниматься тем, чем им нравится - это база

Согласен. Но на Gay.ru я не хожу, так что вы ломитесь в открытую дверь. Но тут другое.

-- 15.06.2022, 21:33 --

Arks в сообщении #1557517 писал(а):

Посмотрел бы, как вы будете это делать в случае десяти сторон

Так это другая задача, о чем я выше уже писал. Читайте внимательнее.

[wrest]

vpb в сообщении #1557446 писал(а):

Гаусса можно было бы вспомнить, если бы была задача про треугольники со сторонами из ряда чисел $2,3,\ldots, 101$. Но это была бы уже другая задача.

Ну да, в исходной задаче искать обобщения не стоит, если можно перебрать за короткое время.
Вообще самый как мне показалось здравый совет по упрощению задачи вот этот:

TOTAL в сообщении #1557354 писал(а):

Вычисления упрощаются, если переформулировать: Даны 4 отрезка длиной 2, 3, 4, 5

Тогда ведь действительно все буквально "на пальцах". А обобщения понадобятся когда в умище задача не влезает. Тогда и бином Ньютона вывести можно...

-- 16.06.2022, 00:47 --

Arks в сообщении #1557517 писал(а):

Сложно и муторно это как раз в ручную перебирать все частные случаи. Посмотрел бы, как вы будете это делать в случае десяти сторон

Так в случае десяти чисел встает проблема отсеивания неподходящих треугольников, и придется её решать "элегантно", например искать закономерность сколько новое число добавляет плохих треугольников :)

[Arks]

vpb в сообщении #1557523 писал(а):

Согласен. Но на Gay.ru я не хожу

wrest в сообщении #1557528 писал(а):

Так в случае десяти чисел встает проблема отсеивания неподходящих треугольников

Пусть наименьшая и наибольшая сторона отличаются не более чем в два раза, тогда ничего отсеивать не придется

[wrest]

Arks в сообщении #1557534 писал(а):

не более чем в два раза, тогда ничего отсеивать не придется

Ок, и тогда из отрезков $(2,3,4)$ можно сделать $C^{3+3-1}_{3}=10$ треугольников, да? :)

[vpb]

druggist

Вообще-то, Ваш исходный вопрос вполне законен, как я сейчас понимаю. Без достаточного опыта трудно быть уверенным в том, что самый очевидный путь --- выписать 20 кандидатов на бумажке и вычеркнуть лишние --- является вместе с тем и самым простым и коротким. Неспециалисту и в самом деле выписать 20 строчек (коротких, впрочем) может показаться занятием длинноватым и туповатым. А специалисты знают, что во многих (может, даже и в большинстве ... ) случаях наиболее рациональный способ решения какой-то комбинаторной задачи --- это как раз тупой перебор.

-- 16.06.2022, 13:15 --

Впрочем, она и в общем случае (для набора длин $2,3,\ldots,n$) решается весьма легко.

[Lia]

Arks в сообщении #1557517 писал(а):

Не нравится, проходите мимо. Не мешать людям заниматься тем, чем им нравится -

Arks
Предупреждение за хамство и попытку самостоятельной модерации.

vpb в сообщении #1557523 писал(а):

Согласен. Но на Gay.ru я не хожу,

vpb
Предупреждение за хамство.

[wrest]

vpb в сообщении #1557571 писал(а):

Впрочем, она и в общем случае (для набора длин $2,3,\ldots,n$) решается весьма легко.

Все украдено до нас, количество "хороших" треугольников это A005744
Для нуля отрезков ноль треугольников, для одного отрезка один треугольник (равносторонний), для двух отрезков $(2,3)$ - четыре треугольника ну так далее.
Есть даже замкнутая формула $\dfrac{1}{12}n^3+\dfrac{5}{8}n^2+\dfrac{5}{12}n-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}(-1)^n$
Количество "плохих" треугольников это A002623
Что возвращает нас, кстати, к комментарию

Arks в сообщении #1557328 писал(а):

Возможно что-то с производящими функциями, а ля Эйлер с комбинаторными задачами

[vpb]

wrest в сообщении #1557593 писал(а):

Что возвращает нас, кстати, к комментарию

Нет, не возвращает. Там элементарное решение, на уровне 9 класса. Просто надо знать, как вывести формулу для суммы значений многочлена от $1$ до $N$, с помощью индукции. Может быть, правда, что какие-то технические детали длинноваты окажутся. В подробностях думать нет охоты.

[nnosipov]

wrest в сообщении #1557593 писал(а):

Есть даже закрытая формула

По-русски правильно говорить "замкнутая формула", "формула в замкнутом виде" (на английском "in closed form"). (Ну, в детском журнале "Квант" так бы написали )

[wrest]

svv в сообщении #1557366 писал(а):

Количество узлов $(x,y,z)$ целочисленной декартовой решетки, удовлетворяющих условиям
$2\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 5,\quad x+y>z$

Из этого, кстати, каким-то образом можно сделать глубокомысленный вывод, что количество растёт как одна двенадцатая куба с ростом правого числа в неравенстве.
Ну или во всяком случае, что рост кубический, а не скажем экспоненциальный или ещё какой - это-то очевидно.

-- 16.06.2022, 16:50 --

nnosipov в сообщении #1557602 писал(а):

По-русски правильно говорить "замкнутая формула",

Да, конечно, спасибо.