Заморочка с эллиптическим интегралом

[B@R5uk]

Возникла тут необходимость посчитать такой вот интеграл:

$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\varphi'+y^2}}$$

Надо заметить он или на него похожие периодически мне уже попадались. Вольфрам мне выдал вот такую формулу:

$$\int\frac{d\varphi}{\sqrt{a+b\cos\varphi}}=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\;F\left(\left.\frac{\varphi}{2}\right|\frac{2b}{a+b}\right)$$

Покопавшись, я понял, что функция эф большое здесь — эллиптический интеграл первого рода (сразу было такое подозрение, хоть я и забыл всё давно):

$$F\left(\left.\varphi\right|k\right)=\int\limits_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}$$

Вот здесь даже как сводится одно к другому для случая задачи о периоде физического маятника. Мой исходный интеграл можно интегрировать на отрезке $\left[-\pi,\,\pi\right]$, а поскольку подынтегральная функция чётная, то это будет два интеграла на отрезке $\left[0,\,\pi\right]$. Далее, имеется соотношение:

$$F\left(\left.\frac{\pi}{2}\;\right|k\right)=K\left(k\right)$$

где ка большое — это уже полный эллиптический интеграл первого рода. Надо заметить, что по определению эти функции чётны по аргументу k, но на него наложено ограничение:

$$\left|\;k\;\right|<1$$

В итоге для исходного интеграла я получаю значение:

$$\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\varphi'+y^2}}=\frac{4}{\sqrt{\left(r-r'\right)^2+y^2}}\;K\left(\frac{4rr'}{\left(r-r'\right)^2+y^2}\right)$$

И тут сразу в глаза бросается проблема: аргумент эллиптического интеграла может быть больше единицы! (Например для $r=2r',\;y=0$) Это сделает его значение комплексным, но у меня-то интеграл действительной функции.

Что я делаю не так?

[GAA]

Вроде какая-то арифметическая ошибка в сообщении выше. (Если $(r-r')^2$, то перед $k\sin^2\theta$ будет стоять плюс.)

$$I = \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\varphi'+y^2}} = \int\limits_{-\pi}^{+\pi}\frac{d\phi}{\sqrt{r^2+r'^2+2rr'\cos\phi+y^2}}.$$

Выполнив замену $\cos \phi = 1-2\sin^2\frac {\phi} 2$, получим

$I = \frac 4 {\sqrt{(r+r')^2+y^2}} K(k)$, $k = 2\sqrt{\frac {rr'}{(r+r')^2+y^2}}$.

Вроде в любом пакете посчитать можно.

[B@R5uk]

Что-то странно. По идее, когда осевая симметрия, то не важно откуда начинать интегрировать, от нуля, от пи или от произвольного угла альфа. Покуда область интегрирования весь разворот, результат должен быть один и тот же. И подынтегральное выражение при этом не должно меняться.

Другими словами, интеграл по периоду периодической функции не зависит от положения отрезка интегрирования. Однако, честная замена переменной нарушает это правило. Не пойму, в чём дело?

-- 16.06.2022, 20:39 --

ОК, проверка в лоб с помощью численного интегрирования подтверждает верность обоих подходов. То бишь получается, что

$$\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\varphi'+y^2}}=\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\sqrt{r^2+r'^2+2rr'\cos\varphi'+y^2}}$$

(Оффтоп)

clc
clearvars
format compact

func1 = @(x1, x2, y, t) 1 ./ sqrt (x1 .^ 2 + x2 .^ 2 - 2 * x1 .* x2 .* cos (t) + y .^ 2);
func2 = @(x1, x2, y, t) 1 ./ sqrt (x1 .^ 2 + x2 .^ 2 + 2 * x1 .* x2 .* cos (t) + y .^ 2);

r = rand;
rr = rand;
y = rand;
val1 = quad (@(arg) func1 (r, rr, y, arg), 0, 2 * pi);
val2 = quad (@(arg) func1 (r, rr, y, arg), -pi, pi);
val3 = quad (@(arg) func2 (r, rr, y, arg), -pi, pi);
val4 = quad (@(arg) func2 (r, rr, y, arg), 0, 2 * pi);
disp ([val1; val2; val3; val4])

Теперь надо с эллиптическим интегралом разобраться.

[B@R5uk]

В первом посте напутал с модулем и параметром эллиптического интеграла. Если функция записана с вертикальной чертой, то это означает, что второй аргумент является параметром:

$$F\left(\left.\varphi\right|m\right)=\int\limits_{0}^{\varphi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}$$

Это значит, что эта функция не является ни чётной, ни нечётной по второму аргументу и минус я не имел права выкинуть. В полном интеграле аргументом всегда, я так понимаю, является модуль, поэтому

$$F\left(\left.\frac{\pi}{2}\;\right|m\right)=K\left(\sqrt{m}\right)$$

Вольфрам мне даёт следующее:

$$\int\frac{d\varphi'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\varphi'+y^2}}=\frac{2}{\sqrt{(r-r')^2+y^2}}\;F\left(\left.\frac{\varphi'}{2}\right|-\frac{4rr'}{(r-r')^2+y^2}\right)$$

Если в подынтегральном выражении минус заменить на плюс, то и в результате все минусы заменяются на плюсы. Подстановка пределов интегрирования даёт такой результат:

$$I=\frac{4}{\sqrt{(r-r')^2+y^2}}\;K\left(2i\sqrt{\frac{rr'}{(r-r')^2+y^2}}\right)$$

По этой формуле должен получаться тот же самый результат:

$$I=\frac{4}{\sqrt{(r+r')^2+y^2}}\;K\left(2\sqrt{\frac{rr'}{(r+r')^2+y^2}}\right)$$

В случае с минусом вопрос из первого поста отпадает сам собой, так как теперь аргумент функции вообще комплексное число. В случае с плюсом вопрос вообще не стоит. Для чисто мнимого аргумента я нашёл такую вот формулу:

$$K(ik)=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}K\left(\sqrt{\frac{k^2}{1+k^2}}\right)$$

Надо покрутить, посмотреть, что получится.

В принципе, можно считать, что разобрался. GAA, спасибо за помощь!

[novichok2018]

ПБМ, Интегралы и ряды -1, с. 337, ф. 45. Условие на параметры выполнено.

[svv]

B@R5uk
В Градштейне и Рыжике на стр.168 посмотрите интегралы
4) $\int\frac{d\varphi}{\sqrt{a+b\cos\varphi}}$
5) $\int\frac{d\varphi}{\sqrt{a-b\cos\varphi}}$
Формула для 4) в книге совпадает с той, которую Вам выдал Вольфрам, с точностью до обозначений. Формулы для 4) и 5) различны, и каждая применима лишь при $a>b>0$.

[novichok2018]

В справочнике ПрБрМар Интегралы и ряды, указанной выше, формула для $\pm b$ одна, условие a>b>0 конечно также указано, оно в данном случае выполнено. Случай $a=b>0$ нужно отдельно рассмотреть, простой случай.