Оператор P^2=I

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Как могут выглядеть операторы $P^2=I$, действующее на элементы какого либо пространства "хороших" функции?
Причем
$P f(z)=g(z),\,\, P g(z)=f(z)$, т.е. результат действия оператора остается в том же пространстве.
У меня получилось только пару простеньких операторов
$1. P f(z)=f(z)$
$2. P f(z)=f(a-z),\,a\in C$
$3. P f(z)=f^*(z)$
$4. P f(z)=f(z^*)$
и может еще их композиции.
Как может еще выглядеть оператор $P$?
Можно ли в общем виде его найти?

[manul91]

$Pf(z)=-f(z) ?
Еще операторы Q и их композиции, которые выбирательно действуют как $P$ только на реальную и/или имагинерную часть функции $f$ (или ее комплексного аргумента); например $Qf(z)= -\operatorname{Re}(f(z)) + i\operatorname{Im}(f(z))$, $Qf(z)=\operatorname{Re}(f(a-z)) + i\operatorname{Im}(f(z))$, $Qf(z)=\operatorname{Re}(f(z^{*})) + i\operatorname{Im}(f(z))$ и так далее.

[novichok2018]

Синус /косинус преобразования Фурье, преобразование Ханкеля. Полезные вещи. Резольвенту можно в явном виде выписать, проекторы на собственные подпространства, как и другие аналитические функции от оператора.

[TelmanStud]

manul91 в сообщении #1557498 писал(а):

$Pf(z)=-f(z)$ ?

Да упустил.

manul91 в сообщении #1557498 писал(а):

Еще операторы Q и их композиции, которые выбирательно действуют как $P$ только на реальную и/или имагинерную часть функции $f$ (или ее комплексного аргумента); например $Qf(z)= -\operatorname{Re}(f(z)) + i\operatorname{Im}(f(z))$, $Qf(z)=\operatorname{Re}(f(a-z)) + i\operatorname{Im}(f(z))$, $Qf(z)=\operatorname{Re}(f(z^{*})) + i\operatorname{Im}(f(z))$ и так далее.

Тоже да. Однако хотелось еще менее тривиальное.

novichok2018 в сообщении #1557501 писал(а):

Синус /косинус преобразования Фурье, преобразование Ханкеля

Они переводят функцию в "спектральное" пространство.

[manul91]

TelmanStud в сообщении #1557502 писал(а):

Однако хотелось еще менее тривиальное.

Что значит "тривиальное"? Что у вас "хорошие" функции? Если $f$ нигде не обнуляется, берем любую функцию $q(z)$ которая нигде не обнуляется, и определяем $P_{q}f(z)=\frac{q(z)}{f(z)}$ это годится или слишком тривиально? Еще для функций у которых есть обратных можно брать $Pf(z)=f^{-1}(z)$

[TelmanStud]

manul91 в сообщении #1557504 писал(а):

Что у вас "хорошие" функции?

Ну допустим пространство мероморфных функций.

manul91 в сообщении #1557504 писал(а):

Что значит "тривиальное"?

Я надеялся в каком либо интегральным виде получить $P$

manul91 в сообщении #1557504 писал(а):

$P_{q}f(z)=\frac{q(z)}{f(z)}$ это годится или слишком тривиально

+

manul91 в сообщении #1557504 писал(а):

также можно брать операторы отражающие функцию $f$ симметрично относно любую наперед выбранную прямую в комплексной плоскости $C$ аргумента и т.д.

+

[novichok2018]

TelmanStud - какое спектральное пространство, что за ...? Начните сжигать сотни книг, где написано, что они действуют в эль два или весовом эль два. Если у функции другой буквой обозначить аргумент, она не будет в другом пространстве действовать.

[TelmanStud]

novichok2018
Да. но этакое насильственное изменение аргумента.

[novichok2018]

Ещё преобразование Гильберта забыл, хоть на оси, хоть на полуоси. Вот сколько примеров.