Треугольники

[druggist]

Пытался объяснить ребенку решение следующей задачи:

Даны 4 отрезка длиной 10, 15, 20, 25 см.

Сколько различных треугольников можно построить с такими длинами сторон. Длины сторон могут повторяться(например, тр-к со сторонами 10,10,15 см и т.п). Вырожденные треугольники отбрасываем.
Сначала подсчитал число равносторонних треугольников - 4 , затем число "потенциальных" равнобедренных - 12 (2 отбросил - неравенство треуг-ка) и, наконец, "разносторонних"( из 4-х отбросил 1).
Все же, решение кажется несколько громоздким. Нет ли решения поэлегантнее?

[Arks]

Возможно что-то с производящими функциями, а ля Эйлер с комбинаторными задачами

[wrest]

druggist в сообщении #1557288 писал(а):

Пытался объяснить ребенку

...

druggist в сообщении #1557288 писал(а):

Нет ли решения поэлегантнее?

Ну если объяснять ребенку то вряд ли что-то элегантнее.
Так-то, если идти по условиям, то самый прямейший путь такой: сначала нужно вычислить первое условие, а именно количество неупорядоченных троек чисел с повторениями. Это есть количество сочетаний с повторениями из $4$ по $3$. Оно равно $C^{4+3-1}_{3}=\dfrac{6!}{(6-3)! 3!}=\dfrac{ 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}=20$ но это же не школьное знание? Потом наложить второе условие: вычесть количество троек, соответствующих вырожденным и невозможным треугольникам, которые как раз легче перечислить "руками" ибо их всего три: $(10,10,20);(10,10,25);(10,15,25)$ и "легко видеть" что других неподходящих нет. Ну и ответ $20-3=17$

[wrest]

Например. Добавляем пятый отрезок длиной $30$. Тогда всего сочетаний с повторениями из $5$ по $3$ станет $C^{5+3-1}_3=35$, а к уже перечисленным трём невозможным/вырожденным треугольникам добавятся ещё четыре $(10,10,30);(10,15;30);(10,20;30);(15,15,30)$ и ответ будет $35-7=28$

[vpb]

druggist в сообщении #1557288 писал(а):

Все же, решение кажется несколько громоздким. Нет ли решения поэлегантнее?

Нет, нету. Я вообще имею убеждение, что для простых задач не следует искать "элегантные" решения. Иначе умственные усилия на понимание "элегантного" решения будут больше (и часто намного), чем на понимание самого тривиального. Получится растрата головы попусту. И это будет весьма дурной пример для ребенка, когда из простого делают сложное.

[upgrade]

Три кубика с гранями 10,15,20,25 - сколько разных чисел может выпасть.
Первое сочетание - первый второй третий четвертый кубик - выпало 10
второе ...четвертый выпало 15
...

[druggist]

vpb в сообщении #1557345 писал(а):

Получится растрата головы попусту.

Речь не о смысле, а о методе. Вспомните Гаусса(кажется), как он ребенком сложил сумму чисел от 1 до 100)

[svv]

druggist в сообщении #1557288 писал(а):

Пытался объяснить ребенку

Arks в сообщении #1557328 писал(а):

Возможно что-то с производящими функциями

[TOTAL]

druggist в сообщении #1557288 писал(а):

Нет ли решения поэлегантнее?

Нашёл!
Вычисления упрощаются, если переформулировать: Даны 4 отрезка длиной 2, 3, 4, 5 см.

[druggist]

wrest в сообщении #1557335 писал(а):

которые как раз легче перечислить "руками" ибо их всего три: $(10,10,20);(10,10,25);(10,15,25)$ и "легко видеть"

Вот это самый "неэлегантный" момент)

-- Вт июн 14, 2022 14:10:48 --

svv в сообщении #1557353 писал(а):

druggist в сообщении #1557288

писал(а):
Пытался объяснить ребенку Arks в сообщении #1557328

писал(а):
Возможно что-то с производящими функциями

В детском журнале "Квант" штук пяток статей про производящие функции)

[wrest]

druggist в сообщении #1557355 писал(а):

Вот это самый "неэлегантный" момент)

Ну что тут поделать. Тут конечно можно заметить что все длины кратны 5 и ответ будет таким же

TOTAL в сообщении #1557354 писал(а):

если переформулировать: Даны 4 отрезка длиной 2, 3, 4, 5 см.

Но суть задачи явно не в кратности длин одному числу, а именно в последовательном применении двух условий:
1. Сколько различных троек всего.
2. Сколько из них не подходит.

[svv]

Количество узлов $(x,y,z)$ целочисленной декартовой решетки, удовлетворяющих условиям
$2\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 5,\quad x+y>z$

[wrest]

upgrade в сообщении #1557350 писал(а):

Три кубика

...

upgrade в сообщении #1557350 писал(а):

четвертый кубик - выпало 10

[Arks]

wrest в сообщении #1557335 писал(а):

Это есть количество сочетаний с повторениями из $4$ по $3$. Оно равно $C^{4+3-1}_{3}=\dfrac{6!}{(6-3)! 3!}=\dfrac{
1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}=20$

Хотел что-то подобное отыскать

vpb в сообщении #1557345 писал(а):

Я вообще имею убеждение, что для простых задач не следует искать "элегантные" решения.

Эк вы целую культуру решений отменили, где у относительно простых задач ищутся элегантные решения с мощным маттаппаратом (из пушки по воробьям)

druggist в сообщении #1557355 писал(а):

Вот это самый "неэлегантный" момент)

Боюсь, от него избавиться нельзя (можно взять такие не сильно отличающиеся отрезки, чтобы ничего отсекать не пришлось)

[Sender]

TOTAL в сообщении #1557354 писал(а):

Вычисления упрощаются, если переформулировать: Даны 4 отрезка длиной 2, 3, 4, 5 см.

В такой постановке задача сводится к поиску точек целочисленной трёхмерной решётки, заключённых между несколькими заданными плоскостями. Можно сделать иллюстрацию, скажем, в Mathematica:

p1 = ContourPlot3D[x + y - z == 0, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}, {z, 0, 5},  AxesLabel -> {x, y, z}];
p2 = ContourPlot3D[x - y == 0, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}, {z, 0, 5},   AxesLabel -> {x, y, z}];
p3 = ContourPlot3D[y - z == 0, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}, {z, 0, 5},   AxesLabel -> {x, y, z}]; 
points =  ListPointPlot3D[Select[Tuples[{2, 3, 4, 5}, 3], #[[1]] + #[[2]] > #[[3]] && #[[1]] <= #[[2]] && #[[2]] <= #[[3]] &]];
Show[p1, p2, p3, points]

Выглядит примерно так:

-- Вт июн 14, 2022 14:54:07 --

А, svv уже написал про это. Ну пусть будет с картинкой.