Число дискретных собственных значений

[svv]

TelmanStud в сообщении #1557266 писал(а):

Рассматривая $\psi(-\infty,p)=1,\psi'(-\infty,p)=0$ мы добиваемся, что на $-\infty$ решение задачи Коши будет вести себя аналогично решению задачи на собственные значения (?).

Да, т.е. $\psi(x)$ будет экспоненциально убывать на $-\infty$ (в то же время условие подобрано так, чтобы исключить тривиальное решение $\psi(x)\equiv 0$).
При этом на $+\infty$ решение будет удовлетворять условиям убывания лишь при отдельных дискретных $E$ (или $p$). На картинках такие решения легко распознаются: кривая не "задирается" ни вверх, ни вниз, а убывает. Это и есть собственные значения $E$.

TelmanStud в сообщении #1557266 писал(а):

Но для этих рассуждений и для последнего бесконечно маленького шага от $\varepsilon \to 0$ необходима непрерывная зависимость
решений задачи на собственные значения от параметра $p$. (Зависимость для задач Коши мне известна, а вот про Ш-Л задачу не в курсе)

Для задачи Штурма-Лиувилля такого свойства и нет, потому что там параметр $p$ меняется не непрерывно, а дискретно.
В данном подходе мы меняем $E$ от какого-то самого низкого значения (заведомо ниже энергии основного состояния) до $0$ непрерывно. Хотя при этом лишь немногие значения $E_k$ оказываются собственными, и соотв. $\psi_k(x)$ — собственными функциями, мы считаем остальные тоже ценными, так как они позволяют проследить непрерывную эволюцию $\psi_E(x)$ как решения задачи Коши с переменным параметром $E$. Мы отмечаем, что некоторые решения являются также решением задачи Штурма-Лиувилля (когда $E=E_k$), но специально эту задачу не решаем.

TelmanStud в сообщении #1557266 писал(а):

Я попытался для интереса восстановить Ваш потенциал, не смог угадать .

Это просто перевёрнутый полупериод косинуса. Точнее,
$U(x)=\begin{cases}-3\cos\frac x4, &|x|<2\pi\\0&\text{в противном случае}\end{cases}$

Попробуйте посмотреть гифку, надеюсь, технических проблем не будет.
https://gfycat.com/weakwarygrassspider

[lel0lel]

TelmanStud
Но на минус бесконечности требуем, чтобы функция стремилась к единице, тогда будет нетривиальное. А если такое решение существует, Вы вроде согласным этим, то оно также является решением задачи Коши из условия, поскольку условия на минус бесконечности такие же. Разве, что при численном интегрировании может появиться ложный нуль где-то далеко справа из-за ошибки счета.

[TelmanStud]

svv
lel0lel
Спасибо Вам. Разобрался более менее.

(Оффтоп)

svv
За гифку спасибо. Я численно на Вольфраме делал (а Вы?) и выбирал в виде параболы (с компактным носителем)(

[svv]

TelmanStud в сообщении #1557266 писал(а):

Рассматривая $\psi(-\infty,p)=1,\psi'(-\infty,p)=0$ мы добиваемся, что на $-\infty$ решение задачи Коши будет вести себя аналогично решению задачи на собственные значения (?).

Простите, я не сразу заметил. Я сам использовал другое условие: что на $-\infty$ функция $\psi(x)$ ведёт себя как чистая $e^{px}$, без примеси $e^{-px}$. Отсюда следует, что при большом отрицательном $x_1$, где $U(x)$ очень мало, будет $\psi(x_1)=e^{px_1}$ и $\psi'(x_1)=pe^{px_1}$. Впрочем, как объяснил lel0lel, это не так важно.

Написал программу на C++ Builder, которая при каждом $E$ решает задачу численно и строит график. Имхо, очень полезно увидеть именно в динамике.

[TelmanStud]

svv в сообщении #1557281 писал(а):

Простите, я не сразу заметил. Я сам использовал другое условие: что на $-\infty$ функция $\psi(x)$ ведёт себя как чистая $e^{px}$, без примеси $e^{-px}$. Отсюда следует, что при большом отрицательном $x_1$, где $U(x)$ очень мало, будет $\psi(x_1)=e^{px_1}$ и $\psi'(x_1)=pe^{px_1}$.

Да я заметил.. спс