Квадрат от интеграла не превосходит интеграла от квадрата

[VEX1T]

Существует ли положительная монотонно возрастающая функция $f(x), \; x \geqslant 0$, такая, что для любого $ y>0 $
а) $ \int\limits_{0}^{y} f(x)^{2}dx \geqslant (\int\limits_{0}^{y} f(x)dx)^{2}$;
б) $ \int\limits_{0}^{y} f(x)^{2}dx \geqslant (\int\limits_{0}^{y} f(x)dx)^{2,01}$?

Полагаю что путь лежит через неравенство Коши-Буняковского, но не могу понять как правильно все доказать

[svv]

Это олимпиадная задача. См.книгу
Садовничий, Григорьян, Конягин. Задачи студенческих математических олимпиад.
К тому же, в книге её решение опирается на решение другой задачи из той же книги.

[GAA]

В книге Садовничий В.А. и др. Задачи студенческий математических олимпиад, 1987 это задача 49 из Гл I, § 4. К ней есть решение. По пункту б) предлагается модифицировать решение задачи 47.
В решении задачи 47 рассматривается два случая. Рассмотрение случая 2: $\int_a^{+\infty} f^2(x) dx > f(a)$ опирается на неравенство, которое дано в условии 47, но не дано в условии 49.

В нашем случае функция возрастает, поэтому $\int_0^{+\infty} f^2(x) dx$ расходится, т.е. нам нужно модифицировать случай 2 решения задачи 47. Непонятно, как это сделать.

Интуитивно функция $f(x)$ должна возрастать при больших значениях аргумента быстрее степени. Экспонента не подходит. В качестве функции $f$ возьмём $f(x) = \exp(x^2)$. Обозначим $F_1(y) = \left (\int_0^y f(x) dx \right)^{2.02}$, $F_2(y) = \int_0^y f^2(x) dx$. На рис. приведен график (полученный в системе Maple 7) начального участка $F(y) = F_2(y) - F_1(y)$. C увеличением $y$ разность возрастает. (Во вставке приведен участок для малых значений аргумента.)

Вложение:

Комментарий к файлу: Maple 7. F(y) = F2(y) - F1(y)

int_inequality.PNG [ 16.06 Кб | Просмотров: 0 ]

В общем, ответ на пункт б) в этом сборнике задач выгладит сомнительным.

[GAA]

Со степенью 2.02 (с вопросом б) я заврался. При больших $y$ функция $F_2$ становится меньше $F_1$. Т.е. надо или придумать более тонкий пример или доказывать, что такой функции не существует.(В случае вопроса a), т.е. в случае степени 2, легко проверить, что предел отношения $F_2/F_1$ равен $+\infty$. Тут приведенный пример правдоподобен, но и в книге пример есть.)

-- Sat 11.06.2022 22:49:49 --

Ступил. Действительно, в решении задачи 47 даётся способ решения, того что такой функции нет. Т.е. не существует функции, что неравенство в пункте б) выполняется.

[Arks]

Первый пункт решается в уме
а) $y=ce^{2x}$
Во втором получается, что функция должна быть не меньше
б) $y=(\frac{100}{c-2.01x})^{100}$, а та в свою очередь очень быстро растет, достигая бесконечности в $x=\frac{c}{2.01}$