Определение частной производной и производной по направлению

[give_up]

Подскажите, почему в учебниках по матанализу (по крайней мере в тех нескольких, что есть у меня) как в определении частной производной функции $f(\mathbf{x}) = f(x_1,\ldots,x_n)$ по переменной $x_i$ в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$, так и в определении производной функции $f(\mathbf{x}) = f(x_1,\ldots,x_n)$ в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ по направлению $\mathbf{e}$ требуют, чтобы функция $f(\mathbf{x})$ была определена в некоторой окрестности точки $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ (другими словами, чтобы точка $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ была внутренней точкой области определения функции $f(\mathbf{x})$, т.е. $\mathbf{x}_0 \in \operatorname{int} D(f)$) ?

Ведь, насколько я понял эти два определения, в них можно существенно ослабить это требование:
1) в случае частной производной функции $f(\mathbf{x}) = f(x_1,\ldots,x_n)$ по переменной $x_i$ в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ достаточно потребовать того, чтобы функция $f(\mathbf{x})$ была определена в самой точке $\mathbf{x}_0 = (x_{01}, \ldots, x_{0n})^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n$ и в некоторой окрестности $i$-й координаты этой точки (то есть на множестве $\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n: x_1 = x_{01}, \,\ldots, ~ x_{i-1} = x_{0,i-1}, ~ x_i \in (x_{0i}-\delta, x_{0i}+\delta), $ $ x_{i+1} = x_{0,i+1}, \,\ldots, ~ x_n = x_{0n}\}$, где число $\delta > 0$);
2) в случае производной функции $f(\mathbf{x}) = f(x_1,\ldots,x_n)$ в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ по направлению $\mathbf{e}$ достаточно потребовать того, чтобы функция $f(\mathbf{x})$ была определена на некотором отрезке $\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n: ~ \mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{e}, ~~ t \in [0, t_1]\}$, где число $t_1 > 0$.

Скажите, правильны ли эти рассуждения (то есть можно ли таким образом "ослабить" требование $\mathbf{x}_0 \in \operatorname{int} D(f)$ )?

[Anton_Peplov]

Ослабить требование можно, но не нужно. То есть определение останется корректным, но аппарат частных производных при столь слабых ограничениях на функцию - малополезная вещь. Чтобы понять, почему, запишите, например, выражение градиента через частные производные по координатам.

[ihq.pl]

Можно говорить о существовании производной в точке. Неплохо было бы понять что подразумевается под этим.

[give_up]

Anton_Peplov в сообщении #1556897 писал(а):

Чтобы понять, почему, запишите, например, выражение градиента через частные производные по координатам.

Градиент $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)\right)^\mathrm{T}$ по определению требует существования всех частных производных первого порядка функции $f(\mathbf{x})$ в точке $\mathbf{x}_0$. Если потребовать для каждой частной производной выполнения "ослабленного" требования на точку $\mathbf{x}_0$, которое я описал вышел, получим, что функция $f(\mathbf{x})$ должна быть определена в точке $\mathbf{x}_0$ и в некоторой окрестности каждой координаты этой точки $x_{0i}, ~ i=1,\ldots,n$ (то есть для каждого $i \in \{1,\ldots,n\}$ должно найтись число $\delta_i > 0$, такое, что множество \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n: x_1 = x_{01}, \ldots, x_{i-1}=x_{0,i-1}, ~ x_i \in (x_{0i} - \delta_i, x_{0i} + \delta_i),$ $ x_{i+1} = x_{0,i+1}, \ldots, x_n = x_{0n}\} \subset D(f)$ ). Очевидно, что все эти $n$ требований в совокупности равносильны требованию $\mathbf{x}_0 \in \operatorname{int} D(f)$, то есть здесь все корректно согласуется. Не вижу причин, по которым этот градиент "сломается".

[Anton_Peplov]

give_up в сообщении #1556902 писал(а):

Очевидно, что все эти $n$ требований в совокупности равносильны требованию $\mathbf{x}_0 \in \operatorname{int} D(f)$

Именно так. Другими словами, чтобы градиент в точке имел смысл, нужно, чтобы точка была внутренней для области определения. И чтобы совершать с функцией практически любые другие полезные действия из дифференциального исчисления, нужно это же. Поэтому для простоты это требование сразу закладывают в определение частной производной. Можно не закладывать, и тогда определение формально будет более общим. Но на практике те функции, у которых частная производная существует в Вашем определении, но не существует в определении из учебников, никому не нужны. С ними едва ли можно сделать что-то полезное.

[give_up]

Anton_Peplov, теперь понятно, спасибо за разъяснение!

[svv]

Я думаю, что в многомерном случае именно дифференцируемость функции $f(\mathbf x)$ в точке $\mathbf x_0$ — это то требование, которое не просто обеспечивает существование в $\mathbf x_0$ всех частных производных $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ и всех производных по направлению $D_{\mathbf v}f$, но и делает их "совместно хорошими". Требование обеспечивает, что в данной точке
$D_{a\mathbf u+b\mathbf v}f=aD_{\mathbf u}f+bD_{\mathbf v}f$
Кроме того,
$\frac{\partial f}{\partial x^i}=D_{\mathbf e_i}f$
где $\mathbf e_i$ — это базисный вектор координатного базиса в $\mathbf x_0$, соответствующий координате $x^i$.
Из этих формул следует, что
$D_{\mathbf v}f=v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}$

Я, конечно, пользуюсь таким определением, при котором вектор $\mathbf v$ в $D_{\mathbf v}$ не обязательно единичный.

[novichok2018]

Поэтому, например, грамотно рассматривать УЧП в открытой области, чего иногда не понимают.
Также, возможно с теоремой о равенстве смешанных производных возникнут проблемы при расширенном определении, особенно с её доказательством. А это совсем плохие последствия даст.

[Anton_Peplov]

Кстати, да. Существования в точке $x_0$ частных производных (в общепринятом определении), вообще говоря, недостаточно даже для того, чтобы функция имела предел в точке $x_0$. Куда уж тут определения ослаблять, когда и сильных не хватает.