Определение подгруппы

[Arkadij]

Возникли проблемы с пониманием определения подгруппы.
Например, из Википедии:
Подгруппа ― подмножество $ H $ группы $ G $, само являющееся группой относительно операции, определяющей $ G $.

А именно: разрешает ли данное определение иметь $ H $ единичный элемент (а соответственно определять обратные элементы) отличный от единичного элемента $ G $?

Если да, то в качестве $ H $ подошло бы любое одноэлементное множество $ \{a\} $, где $ a*a=a $. Так что думаю, что не разрешено, но как это увидеть из определения?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы/обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[nnosipov]

Arkadij в сообщении #1556556 писал(а):

Если да, то в качестве $ H $ подошло бы любое одноэлементное множество $ \{a\} $, где $ a*a=a $.

Ну, и много ли имеется таких элементов $a$ в группе $G$?

[Arkadij]

Ну да. В группе только единичный. Но основной вопрос был не в том. Пусть тогда будет полугруппа.

[mihaild]

Ну да, подмножество полугруппы, состоящее из одного идемпотента, является полугруппой. Что вас смущает?

[RIP]

Для приведённого определения подгруппы можно доказать, что единичный элемент подгруппы совпадает с единичным элементом группы.
В определении полугруппы единичного элемента нет, поэтому и требований никаких нет. Возможны всякие ситуации (например, в самой полугруппе единичного элемента нет, а в подполугруппе — есть; или наоборот; или есть и там, и там, но различны).
Если рассматривать моноиды, то да, в определении подмоноида нужно требовать, чтобы единичный элемент моноида принадлежал подмоноиду.

[Arkadij]

RIP в сообщении #1556581 писал(а):

Для приведённого определения подгруппы можно доказать, что единичный элемент подгруппы совпадает с единичным элементом группы.
В определении полугруппы единичного элемента нет, поэтому и требований никаких нет. Возможны всякие ситуации (например, в самой полугруппе единичного элемента нет, а в подполугруппе — есть; или наоборот; или есть и там, и там, но различны).
Если рассматривать моноиды, то да, в определении подмоноида нужно требовать, чтобы единичный элемент моноида принадлежал подмоноиду.

Спасибо. Это и хотел услышать. Извините за сумбур.

[vpb]

Ну если такая проблема, давайте скажем по другому: подгруппа --- это подмножество в группе, замкнутое относительно взятия произведения и обратного элемента. Скажем, в группе целых чисел по сложению множество всех чисел, делящихся на 3 (положительных, отрицательных и нуля) --- подгруппа, а всех неотрицательных --- нет.